À quoi sert le calculateur de longueur d'arc
Cet outil détermine la longueur d'un segment courbe le long du bord d'un cercle. Il vous suffit de saisir deux valeurs — le rayon du cercle et l'angle central en degrés — pour obtenir la longueur de l'arc. En prime, il calcule aussi l'aire du secteur et la longueur de la corde pour le même rayon et le même angle, ce qui vous offre une vue d'ensemble complète de cette portion du cercle.
Les deux valeurs à renseigner
- Rayon : la distance entre le centre du cercle et son bord, exprimée dans l'unité de votre choix (cm, m, pouces, etc.).
- Angle central (degrés) : l'angle, mesuré au centre du cercle, que couvre l'arc — de 0° jusqu'à 360°.
La formule expliquée
La longueur d'arc repose sur la relation suivante :
L = r · θ = r · (π · angle° / 180)
Comme la formule de base de la longueur d'arc (L = r · θ) exige un angle exprimé en radians, le calculateur convertit d'abord vos degrés en radians en les multipliant par π/180. Il multiplie ensuite cette valeur en radians par le rayon. Ce même angle converti alimente les résultats supplémentaires :
- Aire du secteur : ½ · r² · θ (en radians)
- Longueur de la corde : 2 · r · sin(θ/2) — la distance en ligne droite entre les deux extrémités de l'arc
Exemple concret
Supposons un rayon de 10 et un angle central de 60°.
- Conversion : θ = 60 × π/180 ≈ 1,0472 radian
- Longueur d'arc : L = 10 × 1,0472 ≈ 10,47
- Aire du secteur : ½ × 10² × 1,0472 ≈ 52,36
- Longueur de la corde : 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10,00
Ainsi, un arc de 60° sur un cercle de rayon 10 s'étire sur environ 10,47 unités le long de la courbe, tandis que la corde droite reliant ses extrémités mesure exactement 10 unités.
Termes et variables clés
- Longueur d'arc (\(L\))
- La distance mesurée le long de la courbe d'un cercle entre deux points. Pour un angle au centre en degrés, \(L = r\theta\frac{\pi}{180}\) ; en radians, cela se simplifie en \(L = r\theta\).
- Rayon (\(r\))
- La distance en ligne droite du centre du cercle à n'importe quel point de sa circonférence. Il met à l'échelle chaque mesure d'arc, de corde et d'aire.
- Angle au centre (\(\theta\))
- L'angle, mesuré au centre du cercle, qui sous-tend (s'ouvre sur) l'arc. Il peut être exprimé en degrés ou en radians.
- Radian
- L'unité naturelle d'angle, définie de sorte qu'un arc dont la longueur est égale au rayon sous-tend un radian. Un cercle complet fait \(2\pi\) radians, et \(1\text{ rad} \approx 57,2958^\circ\).
- Aire du secteur
- L'aire de la région en « tranche de tarte » délimitée par deux rayons et l'arc, donnée par \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\) (radians) ou \(A = \frac{\theta}{360}\pi r^2\) (degrés).
- Corde
- Le segment de ligne droite reliant les deux extrémités d'un arc, trouvé à partir de \(c = 2r\sin(\theta/2)\). La corde est toujours plus courte que son arc.
- Circonférence
- La distance totale autour du cercle entier, \(C = 2\pi r\). Un arc est simplement une fraction \(\frac{\theta}{360}\) de la circonférence.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la longueur d'arc et la longueur de la corde ? La longueur d'arc suit la courbe, alors que la corde est la ligne droite qui relie les deux extrémités de l'arc. L'arc est toujours égal ou supérieur à la corde.
Puis-je saisir l'angle en radians ? Non — le champ attend des degrés, et l'outil effectue la conversion en interne. Si vous disposez d'une valeur en radians, multipliez-la d'abord par 180/π pour obtenir des degrés.
Que se passe-t-il si je saisis 360° ? La longueur d'arc devient alors la circonférence complète (2πr) et la longueur de la corde tombe à zéro, puisque les deux extrémités se rejoignent au même point.
