Что считает калькулятор длины дуги
Этот калькулятор находит длину криволинейного участка вдоль края окружности. Вам нужно ввести всего два значения — радиус окружности и центральный угол в градусах — и инструмент выдаст длину дуги. В качестве бонуса он сразу же рассчитает площадь сектора и длину хорды при том же радиусе и угле, давая полную картину выбранного «ломтика» круга.
Какие два значения нужно ввести
- Радиус: расстояние от центра окружности до её края в любых удобных единицах (см, м, дюймы и т. д.).
- Центральный угол (в градусах): угол, измеренный в центре окружности, который охватывает дуга — от 0° до 360°.
Разбираем формулу
Длина дуги вычисляется по соотношению:
L = r · θ = r · (π · угол° / 180)
Поскольку базовая формула длины дуги (L = r · θ) требует, чтобы угол был выражен в радианах, калькулятор сначала переводит ваши градусы в радианы, умножая их на π/180. Затем он умножает полученное значение в радианах на радиус. Этот же пересчитанный угол используется и для дополнительных расчётов:
- Площадь сектора: ½ · r² · θ (θ в радианах)
- Длина хорды: 2 · r · sin(θ/2) — прямое расстояние между двумя концами дуги
Пример расчёта
Допустим, радиус равен 10, а центральный угол — 60°.
- Переводим в радианы: θ = 60 × π/180 ≈ 1,0472 радиан
- Длина дуги: L = 10 × 1,0472 ≈ 10,47
- Площадь сектора: ½ × 10² × 1,0472 ≈ 52,36
- Длина хорды: 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10,00
Итак, дуга в 60° на окружности радиусом 10 тянется примерно на 10,47 единиц вдоль кривой, тогда как прямая хорда между её концами равна ровно 10 единицам.
Ключевые термины и переменные
- Длина дуги (\(L\))
- Расстояние, измеренное вдоль кривой края окружности между двумя точками. Для центрального угла в градусах \(L = r\theta\frac{\pi}{180}\); в радианах это упрощается до \(L = r\theta\).
- Радиус (\(r\))
- Расстояние по прямой линии от центра окружности до любой точки на её окружности. Он масштабирует каждое измерение дуги, хорды и площади.
- Центральный угол (\(\theta\))
- Угол, измеренный в центре окружности, который опирается (открывается) на дугу. Он может быть выражен в градусах или радианах.
- Радиан
- Естественная единица угла, определённая так, чтобы дуга, равная по длине радиусу, опиралась на один радиан. Полный круг составляет \(2\pi\) радиан, и \(1\text{ рад} \approx 57,2958^\circ\).
- Площадь сектора
- Площадь области "кусок пирога", ограниченной двумя радиусами и дугой, дана формулой \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\) (радианы) или \(A = \frac{\theta}{360}\pi r^2\) (градусы).
- Хорда
- Прямолинейный сегмент, соединяющий две конечные точки дуги, найденный из \(c = 2r\sin(\theta/2)\). Хорда всегда короче своей дуги.
- Окружность
- Общее расстояние по всему кругу, \(C = 2\pi r\). Дуга — это просто доля \(\frac{\theta}{360}\) от окружности.
Часто задаваемые вопросы
Чем длина дуги отличается от длины хорды? Дуга идёт по кривой, а хорда — это прямая линия, соединяющая два конца дуги. Дуга всегда равна хорде или длиннее её.
Можно ли вводить угол в радианах? Нет — поле ожидает значение в градусах, а перевод инструмент выполняет сам. Если у вас угол в радианах, сначала умножьте его на 180/π, чтобы получить градусы.
Что будет, если ввести 360°? Длина дуги станет равна полной длине окружности (2πr), а длина хорды обнулится, поскольку оба конца дуги сходятся в одной точке.
