弧長計算器能幫你做什麼
這款計算器可以求出沿著圓周延伸的一段曲線長度。你只需要輸入兩個數值——圓的半徑與圓心角（以度為單位）——就能得到弧長。此外，它還會根據相同的半徑與角度，一併算出扇形面積與弦長，讓你對這塊「圓的切片」有完整的掌握。
你需要輸入的兩個數值
- 半徑：從圓心到圓周邊緣的距離，單位可自行選擇（公分、公尺、英吋等皆可）。
- 圓心角（度）：從圓心量起、弧所對應的角度，範圍從 0° 到 360°。
公式說明
弧長的計算採用以下關係式：
L = r · θ = r · (π · 角度° / 180)
由於核心的弧長公式（L = r · θ）必須使用以弧度表示的角度，計算器會先將你輸入的角度乘以 π/180 換算成弧度，再乘上半徑。同一個換算後的角度也用來推算其他兩項結果：
- 扇形面積：½ · r² · θ（θ 為弧度）
- 弦長：2 · r · sin(θ/2)——也就是弧兩端點之間的直線距離
實際範例
假設半徑為 10，圓心角為 60°。
- 換算：θ = 60 × π/180 ≈ 1.0472 弧度
- 弧長：L = 10 × 1.0472 ≈ 10.47
- 扇形面積：½ × 10² × 1.0472 ≈ 52.36
- 弦長：2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10.00
因此，在半徑為 10 的圓上，一段 60° 的弧沿著曲線約延伸 10.47 個單位，而兩端點之間的直線弦長則剛好是 10 個單位。
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關鍵術語和變數
- 圓弧長 (\(L\))
- 沿著圓的曲線邊緣在兩點之間測量的距離。對於以度數表示的圓心角，\(L = r\theta\frac{\pi}{180}\)；以弧度表示時簡化為 \(L = r\theta\)。
- 半徑 (\(r\))
- 從圓心到圓周上任意點的直線距離。它縮放每個圓弧、弦和面積測量。
- 圓心角 (\(\theta\))
- 在圓心處測量的角度，該角度對應（張開指向）圓弧。它可以用度數或弧度表示。
- 弧度
- 角的自然單位，定義為長度等於半徑的圓弧對應一個弧度。完整的圓是 \(2\pi\) 弧度，\(1\text{ 弧度} \approx 57.2958^\circ\)。
- 扇形面積
- "圓餅切片"區域的面積，由兩條半徑和圓弧所圍成，給定為 \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)（弧度）或 \(A = \frac{\theta}{360}\pi r^2\)（度數）。
- 弦
- 連接圓弧兩個端點的直線段，由 \(c = 2r\sin(\theta/2)\) 求得。弦始終短於其對應的圓弧。
- 圓周
- 整個圓周圍的總距離，\(C = 2\pi r\)。圓弧只是圓周的 \(\frac{\theta}{360}\) 分數。
常見問題
弧長與弦長有什麼不同？弧長是沿著曲線量測的長度，而弦則是連接弧兩端點的直線。弧長永遠大於或等於弦長。
可以直接輸入弧度嗎？不行——輸入欄位以「度」為準，工具會在內部自動換算。如果你手上的數值是弧度，請先乘以 180/π 換算成度數再輸入。
輸入 360° 會怎樣？此時弧長等於整個圓的周長（2πr），而弦長則歸零，因為兩個端點會在同一點重合。
