यह आर्क लंबाई कैलकुलेटर क्या करता है
यह कैलकुलेटर किसी वृत्त के किनारे पर बने घुमावदार हिस्से (चाप) की लंबाई निकालता है। आपको बस दो मान भरने होते हैं — वृत्त की त्रिज्या और डिग्री में केंद्रीय कोण — और यह आपको चाप की लंबाई बता देता है। साथ ही, उसी त्रिज्या और कोण के लिए यह त्रिज्यखंड (सेक्टर) का क्षेत्रफल और जीवा (कॉर्ड) की लंबाई भी निकाल देता है, ताकि वृत्त के उस टुकड़े की पूरी तस्वीर आपके सामने हो।
आपको कौन-से दो मान भरने हैं
- त्रिज्या: वृत्त के केंद्र से उसके किनारे तक की दूरी, जिस भी इकाई में आप चाहें (सेमी, मीटर, इंच आदि)।
- केंद्रीय कोण (डिग्री में): वृत्त के केंद्र पर मापा गया वह कोण जिसे चाप घेरता है — 0° से लेकर 360° तक।
सूत्र को समझें
चाप की लंबाई इस संबंध पर आधारित है:
L = r · θ = r · (π · कोण° / 180)
चाप-लंबाई के मूल सूत्र (L = r · θ) में कोण रेडियन में होना ज़रूरी है, इसलिए कैलकुलेटर पहले आपकी डिग्री को π/180 से गुणा करके रेडियन में बदलता है। फिर इस रेडियन मान को त्रिज्या से गुणा करता है। यही बदला हुआ कोण बाकी परिणाम भी निकालता है:
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: ½ · r² · θ (रेडियन में)
- जीवा की लंबाई: 2 · r · sin(θ/2) — चाप के दोनों सिरों के बीच की सीधी दूरी
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए त्रिज्या 10 है और केंद्रीय कोण 60° है।
- रूपांतरण: θ = 60 × π/180 ≈ 1.0472 रेडियन
- चाप की लंबाई: L = 10 × 1.0472 ≈ 10.47
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: ½ × 10² × 1.0472 ≈ 52.36
- जीवा की लंबाई: 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10.00
यानी 10 त्रिज्या वाले वृत्त पर 60° का चाप वक्र के साथ लगभग 10.47 इकाई फैला होता है, जबकि उसके सिरों को जोड़ने वाली सीधी जीवा ठीक 10 इकाई की होती है।
मुख्य शर्तें और चर
- चाप की लंबाई (\(L\))
- एक वृत्त के घुमावदार किनारे के साथ दो बिंदुओं के बीच मापी गई दूरी। डिग्री में केंद्रीय कोण के लिए, \(L = r\theta\frac{\pi}{180}\); रेडियन में यह सरल हो जाता है \(L = r\theta\)।
- त्रिज्या (\(r\))
- वृत्त के केंद्र से इसकी परिधि पर किसी भी बिंदु तक की सीधी-रेखा दूरी। यह प्रत्येक चाप, जीवा और क्षेत्र माप को मापता है।
- केंद्रीय कोण (\(\theta\))
- वृत्त के केंद्र पर मापा गया कोण, जो चाप को अंतरित (खोलता) है। इसे डिग्री या रेडियन में व्यक्त किया जा सकता है।
- रेडियन
- कोण की प्राकृतिक इकाई, इस तरह परिभाषित कि एक चाप जो त्रिज्या के बराबर लंबाई का हो, एक रेडियन को अंतरित करता है। एक पूर्ण वृत्त \(2\pi\) रेडियन है, और \(1\text{ रेड} \approx 57.2958^\circ\)।
- त्रिज्यखंड का क्षेत्र
- "पाई स्लाइस" क्षेत्र का क्षेत्र दो त्रिज्याओं और चाप द्वारा परिबद्ध, \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\) (रेडियन) या \(A = \frac{\theta}{360}\pi r^2\) (डिग्री) द्वारा दिया गया।
- जीवा
- एक चाप के दो अंतबिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी-रेखा खंड, \(c = 2r\sin(\theta/2)\) से प्राप्त। जीवा हमेशा अपने चाप से छोटी होती है।
- परिधि
- पूरे वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी, \(C = 2\pi r\)। एक चाप केवल परिधि का एक भिन्न \(\frac{\theta}{360}\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
चाप की लंबाई और जीवा की लंबाई में क्या फर्क है? चाप की लंबाई वक्र के साथ-साथ चलती है, जबकि जीवा वह सीधी रेखा है जो चाप के दोनों सिरों को जोड़ती है। चाप हमेशा जीवा के बराबर या उससे लंबा होता है।
क्या मैं कोण रेडियन में डाल सकता हूँ? नहीं — यहाँ कोण डिग्री में चाहिए, और कैलकुलेटर अंदर ही उसे बदल लेता है। अगर आपके पास रेडियन है, तो पहले उसे 180/π से गुणा करके डिग्री में बदल लें।
अगर मैं 360° डालूँ तो क्या होगा? तब चाप की लंबाई पूरी परिधि (2πr) के बराबर हो जाती है और जीवा की लंबाई शून्य रह जाती है, क्योंकि दोनों सिरे एक ही बिंदु पर आ मिलते हैं।
