आर्च कैलकुलेटर क्या है?
आर्च कैलकुलेटर सिर्फ़ दो आसान मापों से किसी गोलाकार (सेगमेंटल) मेहराब की ज्यामिति निकाल देता है — स्पैन (खुलने वाले हिस्से के आर-पार की क्षैतिज जीवा) और राइज़ (जीवा से लेकर मेहराब की चोटी तक की लंबवत ऊँचाई)। इन्हीं दो मानों से यह उस वृत्त की त्रिज्या निकालता है जिसका मेहराब एक हिस्सा है, साथ ही व्यास, घुमावदार रेखा (चाप) की लंबाई और वह कोण जो यह चाप वृत्त के केंद्र पर बनाता है। यह एक सार्वभौमिक ज्यामिति उपकरण है जो राजमिस्त्रियों, बढ़इयों, लकड़ी के कारीगरों, सेट डिज़ाइनरों और किसी भी ऐसे व्यक्ति के लिए उपयोगी है जो घुमावदार ओपनिंग या टेम्पलेट बनाना चाहता है।
इसका उपयोग कैसे करें
स्पैन और राइज़ दोनों को एक ही इकाई में डालें (सेंटीमीटर, इंच या मीटर — परिणाम भी उसी इकाई में मिलेगा)। फिर कैलकुलेट दबाएँ। ऊपर के मुख्य बॉक्स में त्रिज्या दिखती है; और टेबल में चाप लंबाई, व्यास तथा डिग्री में केंद्रीय कोण मिलता है। साइट पर वक्र को निशान लगाने के लिए, निकाली गई त्रिज्या की लंबाई का धागा केंद्र बिंदु पर बाँधें (यह केंद्र चोटी से राइज़ − त्रिज्या नीचे होता है, यानी केंद्र स्प्रिंगिंग लाइन से भी नीचे हो सकता है) और धागे को घुमाकर चाप खींचें।
फ़ॉर्मूला समझें
जीवा की लंबाई s (स्पैन) और राइज़ h के लिए, जिस वृत्त का यह हिस्सा है उसकी त्रिज्या होती है:
$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$
वृत्त के केंद्र से जीवा तक की लंबवत दूरी होती है \(d = R - h\)। जीवा द्वारा बनाया गया आधा कोण \(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)\) होता है, इसलिए पूरा केंद्रीय कोण \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(s/2,\, R-h)\) है, और चाप लंबाई \(L = R \cdot \theta\) होती है (जहाँ θ रेडियन में है)। atan2 का उपयोग करने से परिणाम तब भी सही रहता है जब चाप अर्धवृत्त से बड़ा हो।
हल किया हुआ उदाहरण
एक पूर्ण अर्धवृत्त का स्पैन 10 और राइज़ 5 होता है। तब $$R = \frac{100}{40} + 2.5 = 2.5 + 2.5 = 5$$ केंद्र जीवा पर ही होता है (\(d = R - h = 0\)), इसलिए $$\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5,\, 0) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$$ चाप लंबाई \(= R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15.708\)। इसका हर आधा हिस्सा 7.854 होगा।
विभिन्न स्पैन/राइज़ परिदृश्यों में मेहराब की ज्यामिति
एक वृत्ताकार (खंडीय) मेहराब के लिए स्पैन \(S\) (खुलाई के पार क्षैतिज जीवा) और राइज़ \(H\) (वसंत रेखा से शिखर तक की ऊंचाई) पूरी तरह से इसकी ज्यामिति को निर्धारित करते हैं। त्रिज्या इसमें से मिलती है \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\); वहां से केंद्रीय कोण है \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\) और चाप की लंबाई है \(L = R\theta\) (जहां \(\theta\) रेडियन में है)।
नीचे दी गई तालिका स्पैन को 1000 मिमी पर स्थिर रखती है और राइज़ को बढ़ाती है, ताकि आप देख सकें कि एक सपाट मेहराब कितनी बड़ी त्रिज्या की मांग करती है और एक छोटे केंद्रीय कोण वाली होती है, जबकि एक गहरी मेहराब एक अर्धवृत्त के पास पहुंचती है और फिर उसे पार करती है।
| मेहराब प्रकार | स्पैन S (मिमी) | राइज़ H (मिमी) | त्रिज्या R (मिमी) | व्यास (मिमी) | केंद्रीय कोण θ | चाप की लंबाई L (मिमी) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| उथली खंडीय | 1000 | 150 | 908.3 | 1816.7 | 67.4° | 1068.6 |
| अधिक सपाट खंडीय | 1000 | 250 | 625.0 | 1250.0 | 106.3° | 1159.3 |
| अर्धवृत्ताकार | 1000 | 500 | 500.0 | 1000.0 | 180.0° | 1570.8 |
| घोड़े की नाल | 1000 | 600 | 508.3 | 1016.7 | 241.9° | 2146.4 |
ध्यान दें कि \(H = S/2\) पर मेहराब बिल्कुल अर्धवृत्ताकार है (\(R = S/2\), \(\theta = 180^\circ\))। जब राइज़ स्पैन के आधे से अधिक हो तो वक्र वृत्त के सबसे चौड़े बिंदु से होकर गुजरता है, जिससे अंदर की ओर मुड़ी हुई घोड़े की नाल की आकृति बनती है जिसका केंद्रीय कोण \(180^\circ\) से अधिक होता है।
मुख्य शब्द और चर
- स्पैन (S)
- मेहराब के खुलाई के पार क्षैतिज स्पष्ट दूरी, दोनों वसंत बिंदुओं के बीच मापी जाती है। वृत्त की ज्यामिति में यह चाप की जीवा है।
- राइज़ (H)
- वसंत रेखा से मेहराब के सबसे ऊंचे बिंदु (शिखर) तक की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई। अनुपात \(H/S\) यह बताता है कि मेहराब कितनी उथली या गहरी है।
- त्रिज्या (R)
- वृत्त की त्रिज्या जिसका चाप मेहराब का हिस्सा है, \(R = S^2/(8H) + H/2\) द्वारा दी गई है। चाप को केंद्र बिंदु से इस त्रिज्या को घुमाकर खींचा जाता है।
- व्यास
- त्रिज्या का दोगुना, \(d = 2R\) — अंतर्निहित वृत्त की पूरी चौड़ाई।
- जीवा
- वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा। खंडीय मेहराब के लिए स्पैन चाप को अंतरित करने वाली जीवा है।
- चाप की लंबाई (L)
- वक्र इंट्रैडोस (या किसी भी संकेंद्रीय चाप) के साथ मापी गई लंबाई, \(L = R\theta\) के बराबर है जहां केंद्रीय कोण \(\theta\) रेडियन में है।
- केंद्रीय कोण (θ)
- वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण, \(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\)। अर्धवृत्त के लिए यह 180° है और घोड़े की नाल वाली मेहराब के लिए 180° से अधिक है।
- वसंत रेखा
- क्षैतिज स्तर जहां मेहराब अपने ऊर्ध्वाधर समर्थन से दूर वक्र होना शुरू करती है; स्पैन को इसी रेखा के साथ मापा जाता है।
- शिखर / मुकुट
- मेहराब का सबसे ऊपरी बिंदु, जहां राइज़ को मापा जाता है। मुकुट स्पैन के मध्यबिंदु के ठीक ऊपर स्थित होता है।
- खंडीय मेहराब
- एक मेहराब जिसका वक्र एक अर्धवृत्त से कम वृत्तीय खंड है (\(H < S/2\)), जो एक सपाट प्रोफाइल देता है और त्रिज्या स्पैन के आधे से अधिक होती है।
- अर्धवृत्ताकार मेहराब
- एक मेहराब जो बिल्कुल आधा वृत्त है, जब राइज़ स्पैन के आधे के बराबर हो (\(H = S/2\)), इसलिए \(R = S/2\) और \(\theta = 180^\circ\)।
- घोड़े की नाल वाली मेहराब
- एक मेहराब जो वृत्त के सबसे चौड़े बिंदु के आगे जारी रहती है (\(H > S/2\)), वसंत पर अंदर की ओर मुड़ती है ताकि खुलाई वृत्त के व्यास से संकरी हो; इसका केंद्रीय कोण 180° से अधिक होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर राइज़ स्पैन के आधे के बराबर हो तो? तब मेहराब एक सच्चा अर्धवृत्त बनता है; त्रिज्या राइज़ के बराबर होती है और कोण 180° रहता है।
क्या राइज़ स्पैन के आधे से बड़ा हो सकता है? हाँ — तब चाप अर्धवृत्त से बड़ा हो जाता है (यानी "घोड़े की नाल" जैसा मेहराब) और केंद्र जीवा के ऊपर आ जाता है; atan2 फिर भी सही कोण देता है।
मुझे कौन-सी इकाई इस्तेमाल करनी चाहिए? कोई भी, बस स्पैन और राइज़ दोनों एक ही इकाई में हों; सभी परिणाम उसी इकाई में आएँगे।
