아치 계산기

호 길이 (곡선)	23.18
지름	25
호 각도	106.26°

아치 계산기란?

아치 계산기는 단 두 가지 측정값만으로 원형(분절) 아치의 기하학적 정보를 계산해 줍니다. 바로 스팬(개구부를 가로지르는 수평 현의 길이)과 라이즈(현에서 곡선 꼭대기까지의 수직 높이)입니다. 이 두 값을 입력하면 아치가 속한 원의 반지름과 지름, 곡선의 길이, 그리고 호가 원의 중심에서 이루는 각도까지 자동으로 도출됩니다. 석공, 목수, 가구 제작자, 무대 세트 제작자는 물론, 곡선 개구부나 템플릿을 그려야 하는 누구에게나 유용한 범용 기하 계산 도구입니다.

경간, 라이즈, 반지름, 중심각을 보여주는 원호 세그먼트 아치 — 원호 아치의 주요 치수: 경간(s), 라이즈(h), 반지름(R), 중심각(θ).

사용 방법

스팬과 라이즈를 동일한 단위(센티미터, 인치, 미터 등)로 입력하세요. 결과도 같은 단위로 표시됩니다. 그런 다음 계산 버튼을 누르면, 상단 영역에 반지름이 표시되고 아래 표에는 호 길이, 지름, 그리고 도(°) 단위의 중심각이 나타납니다. 현장에서 곡선을 직접 그릴 때는, 계산된 반지름 길이만큼의 끈을 중심점에 고정하세요. 이 중심점은 꼭대기에서 라이즈 − 반지름 만큼 아래에 위치하므로(즉, 중심이 스프링잉 라인보다 아래에 있을 수 있습니다), 그 상태로 끈을 돌려 호를 그리면 됩니다.

공식 설명

현의 길이를 s(스팬), 라이즈를 h라고 하면, 아치를 포함하는 원의 반지름은 다음과 같습니다:

$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$

원의 중심에서 현까지의 수직 거리는 $d = R - h$ 입니다. 현이 이루는 반각은 $\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)$ 이므로, 전체 중심각은 $$\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}\!\left(\frac{s}{2},\, R - h\right)$$ 이고, 호 길이는 $$L = R \cdot \theta$$ (θ는 라디안 단위) 가 됩니다. atan2 함수를 사용하면 호가 반원보다 큰 경우에도 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

경간의 절반, 반지름에서 라이즈를 뺀 값, 반지름의 직각삼각형 관계 — 이 공식은 경간의 절반, 반지름, 라이즈로 이루어진 직각삼각형에서 나옵니다.

계산 예시

완벽한 반원은 스팬 10, 라이즈 5를 가집니다. 이때 $R = 100/40 + 2.5 = 2.5 + 2.5 = 5$ 입니다. 중심이 현 위에 놓이므로($d = R - h = 0$), $\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5, 0) = 2 \cdot 90° = 180°$ 가 됩니다. 호 길이는 $R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15.708$ 이며, 절반은 각각 7.854 입니다.

공통 스팬/라이즈 시나리오의 아치 기하학

원형(분절) 아치의 경우 스팬 $S$ (개구부 전체의 수평 현)와 라이즈 $H$ (스프링 라인에서 왕관까지의 높이)가 완전히 기하학을 결정합니다. 반지름은 $R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}$에서 따릅니다. 거기서 중심각은 $\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)$이고 호의 길이는 $L = R\theta$입니다 ($\theta$는 라디안 단위).

아래 표는 스팬을 1000 mm로 고정하고 라이즈를 증가시키므로 더 평탄한 아치가 훨씬 더 큰 반지름을 요구하고 더 작은 중심각을 갖는 방법을 확인할 수 있습니다. 반면 깊은 아치는 반원에 접근하거나 초과합니다.

아치 종류	스팬 S (mm)	라이즈 H (mm)	반지름 R (mm)	지름 (mm)	중심각 θ	호의 길이 L (mm)
얕은 분절	1000	150	908.3	1816.7	67.4°	1068.6
더 평탄한 분절	1000	250	625.0	1250.0	106.3°	1159.3
반원형	1000	500	500.0	1000.0	180.0°	1570.8
말굽형	1000	600	508.3	1016.7	241.9°	2146.4

$H = S/2$일 때 아치는 정확히 반원형입니다 ($R = S/2$, $\theta = 180^\circ$). 라이즈가 스팬의 절반을 초과하면 곡선이 원의 가장 넓은 지점을 지나가서 중심각이 $180^\circ$보다 큰 안쪽으로 구부러지는 말굽형을 생성합니다.

주요 용어 및 변수

스팬 (S): 두 스프링 지점 사이의 아치 개구부 전체의 수평 거리입니다. 원 기하학에서는 호의 현입니다.
라이즈 (H): 스프링 라인에서 아치의 최고점 (왕관)까지의 수직 높이입니다. 비율 $H/S$는 아치가 얼마나 얕거나 깊은지를 나타냅니다.
반지름 (R): 아치의 곡선이 일부인 원의 반지름이며 $R = S^2/(8H) + H/2$로 주어집니다. 호는 중심점에서 이 반지름을 회전시켜 그려집니다.
지름: 반지름의 2배, $d = 2R$ — 기본 원의 전체 너비입니다.
현: 원 위의 두 점을 연결하는 직선입니다. 분절 아치의 경우 스팬은 호를 대하는 현입니다.
호의 길이 (L): 곡선 내면 (또는 동심 호)을 따라 측정된 길이이며 $L = R\theta$와 같습니다. 중심각 $\theta$는 라디안 단위입니다.
중심각 (θ): 호가 원의 중심에서 대하는 각도, $\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)$. 반원의 경우 180°이고 말굽형 아치의 경우 180°보다 큽니다.
스프링 라인: 아치가 수직 지지대에서 떨어져 곡선을 시작하는 수평 수준입니다. 스팬은 이 라인을 따라 측정됩니다.
상단부 / 왕관: 아치의 최고점이며 라이즈가 측정되는 지점입니다. 왕관은 스팬의 중점 바로 위에 있습니다.
분절 아치: 곡선이 반원보다 작은 원 분절인 아치 ($H < S/2$)이며 더 평탄한 프로필을 제공하고 반지름은 스팬의 절반보다 큽니다.
반원형 아치: 정확히 반원인 아치이며 라이즈가 스팬의 절반과 같을 때 발생합니다 ($H = S/2$). 따라서 $R = S/2$이고 $\theta = 180^\circ$입니다.
말굽형 아치: 원의 가장 넓은 지점을 지나서 계속되는 아치 ($H > S/2$)이며 스프링에서 안쪽으로 구부러져 개구부가 원의 지름보다 좁습니다. 중심각은 180°를 초과합니다.