포물선 활꼴이란?
포물선 활꼴은 포물선 아치라고도 부르며, 포물선과 이를 가로지르는 직선 현(弦)으로 둘러싸인 평면 영역을 말합니다. 꼭짓점이 위로 향하도록 아래로 볼록한 포물선을 떠올려 보세요. 현은 포물선이 직선과 만나는 두 점을 잇는 선분입니다. 이 도형은 꼭짓점을 지나는 축을 기준으로 좌우 대칭입니다. 아치교, 현수교 케이블의 곡선, 반사경(접시 안테나), 건축물의 아치 등 공학과 디자인 곳곳에서 포물선 곡선을 흔히 볼 수 있습니다.
계산기 사용법
같은 길이 단위(밀리미터, 센티미터, 미터, 인치, 피트 등 — 단위만 통일하면 됩니다)로 단 두 가지 값만 입력하세요.
높이 a — 현에서 포물선의 꼭짓점(정점)까지의 수직 거리입니다.
현 길이 b — 현 위 두 끝점 사이의 직선 거리입니다.
계산기는 둘러싸인 넓이 S(입력한 길이 단위의 제곱), 휘어진 경계만의 호 길이 L, 그리고 전체 둘레 \(L + b\)(곡선과 현의 합)를 알려 줍니다.
공식 풀이
넓이는 아르키메데스의 고전적 결과에서 나옵니다. 포물선 활꼴은 자신을 둘러싸는 직사각형의 정확히 2/3를 채운다는 것이죠: $$S = \tfrac{2}{3}\cdot a\cdot b$$ 호 길이는 포물선 곡선을 적분하여 구합니다. 먼저 보조값 \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\)를 정의하면, $$L = \tfrac{1}{2}\cdot s + \frac{b^{2}}{8a}\cdot \ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$이 됩니다. 여기서 ln은 자연로그입니다. 식에 나오는 \(4a\) 항은 각 끝점에서 포물선의 기울기가 \(4a/b\)임을 반영합니다.
풀이 예제
\(a = 2\), \(b = 1\)인 경우를 봅시다. 넓이는 $$S = \tfrac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1.33333$$입니다. 호 길이를 구하려면 \(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8.06226\)입니다. 그러면 \(\tfrac{1}{2}\cdot s = 4.03113\), \(b^{2}/(8a) = 1/16 = 0.0625\)이고, \((4a + s)/b = 16.06226\)이므로 \(\ln = 2.77636\)이 되어 두 번째 항은 \(0.17352\)입니다. 따라서 $$L = 4.03113 + 0.17352 = 4.20465$$입니다.
자주 묻는 질문
L에 직선 현이 포함되나요? 아닙니다. L은 휘어진 포물선 곡선만의 길이입니다. 활꼴의 전체 둘레는 \(L + b\)이며, 이 값도 함께 표시됩니다.
높이가 0이면 어떻게 되나요? 활꼴은 평평한 직선으로 퇴화합니다. 넓이는 0이 되고, 호 길이는 현 길이 b와 같아집니다.
어떤 단위를 써야 하나요? 어떤 길이 단위든 하나로 통일하면 됩니다. 넓이는 그 단위의 제곱으로, 길이는 그 단위로 나오므로, 입력한 숫자에 공식이 그대로 적용됩니다.
