Что такое параболический сегмент?
Параболический сегмент, который также называют параболической аркой, — это плоская фигура, ограниченная параболой и прямой хордой, пересекающей её. Представьте параболу ветвями вниз с вершиной наверху: хорда соединяет две точки, в которых парабола встречается с прямой. Фигура симметрична относительно оси, проходящей через вершину. Такая форма постоянно встречается в инженерном деле и дизайне — её повторяют арочные мосты, профили подвесных тросов, отражающие тарелки и архитектурные арки.
Как пользоваться калькулятором
Введите всего два измерения в любых согласованных единицах длины (миллиметры, сантиметры, метры, дюймы или футы — главное, чтобы они были одинаковыми):
Высота a — перпендикулярное расстояние от хорды до вершины (макушки) параболы.
Длина хорды b — расстояние по прямой между двумя крайними точками на хорде.
Калькулятор выдаёт площадь S заключённой фигуры (в квадрате выбранной единицы длины), длину дуги L только криволинейной границы и полный периметр L + b (кривая плюс хорда).
Разбор формул
Площадь следует из классического результата Архимеда: параболический сегмент занимает ровно две трети описанного вокруг него прямоугольника: $$S = \frac{2}{3}\cdot a\cdot b$$ Длину дуги получают интегрированием кривой параболы. Введём вспомогательную величину \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\); тогда $$L = \frac{1}{2}\cdot s + \frac{b^{2}}{8a}\cdot\ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$ где \(\ln\) — натуральный логарифм. Слагаемое \(4a\) отражает то, что наклон параболы в каждой крайней точке равен \(\frac{4a}{b}\).
Разобранный пример
Возьмём \(a = 2\) и \(b = 1\). Площадь: $$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1{,}33333$$ Для длины дуги \(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8{,}06226\). Далее \(\frac{1}{2}\cdot s = 4{,}03113\), \(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\), а \(\frac{4a + s}{b} = 16{,}06226\) при \(\ln = 2{,}77636\), что даёт второе слагаемое \(0{,}17352\). Итого $$L = 4{,}03113 + 0{,}17352 = 4{,}20465$$
Частые вопросы
Входит ли в L прямая хорда? Нет — L это длина только криволинейной параболы. Полный периметр сегмента равен L + b, и он тоже показан.
Что будет, если высота равна нулю? Сегмент вырождается в прямую линию: площадь равна 0, а длина дуги сводится к длине хорды b.
Какие единицы измерения использовать? Любые единицы длины, но одни и те же. Площадь получается в квадрате этой единицы, а длины — в самой единице, поэтому формулы применяются напрямую к введённым числам.
