ما هي القطعة المكافئة؟
القطعة المكافئة، التي تُعرف أيضًا بالقوس المكافئ، هي المنطقة المستوية المحصورة بين قطع مكافئ ووتر مستقيم يقطعه. تخيّل قطعًا مكافئًا مفتوحًا إلى الأسفل ورأسه في الأعلى؛ الوتر هو الخط الذي يصل بين النقطتين اللتين يلتقي عندهما القطع المكافئ. والشكل متماثل حول المحور المار بالرأس. ويظهر هذا الشكل باستمرار في الهندسة والتصميم — فالجسور القوسية، ومسارات كابلات الجسور المعلقة، وأطباق العاكسات، والأقواس المعمارية كلها تتبع منحنيات مكافئة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قياسين فقط بأي وحدة طول متناسقة (ملِّيمتر، سنتيمتر، متر، إنش أو قدم — المهم أن تبقى الوحدة نفسها):
الارتفاع a — المسافة العمودية من الوتر إلى رأس (قمة) القطع المكافئ.
طول الوتر b — المسافة المستقيمة بين طرفي الوتر.
تُرجع الحاسبة المساحة المحصورة S (بمربع وحدة الطول لديك)، وطول القوس L للحدّ المنحني فقط، والمحيط الكامل L + b (المنحنى مضافًا إليه الوتر).
شرح الصيغ
تنبع المساحة من النتيجة الكلاسيكية لأرخميدس التي تقول إن القطعة المكافئة تملأ بالضبط ثلثَي المستطيل المحيط بها: $$S = \frac{2}{3}\cdot a\cdot b$$ أما طول القوس فيُحسب بمكاملة منحنى القطع المكافئ. لِنعرّف القيمة المساعدة \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\)، عندئذٍ يكون $$L = \frac{1}{2}\cdot s + \frac{b^{2}}{8a}\cdot \ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$ حيث \(\ln\) هو اللوغاريتم الطبيعي. ويعكس الحدّ \(4a\) كون ميل القطع المكافئ عند كل طرف يساوي \(4a/b\).
مثال محلول
لِنأخذ \(a = 2\) و \(b = 1\). المساحة: $$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1.33333$$ ولحساب طول القوس: \(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8.06226\). ثم \(\frac{1}{2}\cdot s = 4.03113\)، و \(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0.0625\)، و \(\frac{4a + s}{b} = 16.06226\) وميقاع \(\ln = 2.77636\)، ما يعطي حدًّا ثانيًا قدره \(0.17352\). وعليه يكون $$L = 4.03113 + 0.17352 = 4.20465$$
الأسئلة الشائعة
هل يشمل L الوتر المستقيم؟ لا — فـ L هو طول منحنى القطع المكافئ فقط. أما المحيط الكامل للقطعة فهو \(L + b\)، وهو معروض كذلك.
ماذا لو كان الارتفاع صفرًا؟ تتحوّل القطعة إلى خط مستقيم منبسط: تصبح المساحة 0 ويتقلّص طول القوس ليساوي طول الوتر b.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ أي وحدة طول واحدة. تخرج المساحة بمربع تلك الوحدة وتخرج الأطوال بالوحدة نفسها، لذا تنطبق الصيغ مباشرةً على الأرقام المُدخَلة.
