ما هي متعددة حدود غيغنباور (فوق الكروية)؟
متعددات حدود غيغنباور، المعروفة أيضًا باسم المتعددات فوق الكروية، هي عائلة من متعددات الحدود المتعامدة \(C_{n}^{\lambda}(x)\) تُعمِّم كلًّا من متعددات لوجاندر ومتعددات تشيبيشيف. وهي متعامدة على الفترة [-1، 1] بدالة وزن مقدارها \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\). تقوم هذه الحاسبة بتقييم \(C_{n}^{\lambda}(x)\) عند عدد كبير من قيم x دفعةً واحدة، فتُنشئ جدولًا من الأزواج (x، القيمة) ورسمًا بيانيًا خطيًا يساعدك على دراسة شكل المتعددة وجذورها وتذبذبها.
كيفية الاستخدام
أدخِل الدرجة n (عدد صحيح غير سالب)، والمعامل λ (عدد حقيقي؛ ويتطلب التعامد القياسي أن يكون \(\lambda > -1/2\))، وقيمة x الابتدائية، ومقدار الزيادة (المسافة بين كل قيمتَي x متتاليتين)، وعدد التكرارات (عدد الصفوف المطلوب توليدها). تكرِّر الحاسبة العلاقة $$x_i = \text{القيمة الابتدائية} + i\cdot\text{مقدار الزيادة}, \quad i = 0,\dots,\text{العدد}-1$$ وتقيِّم المتعددة عند كل نقطة. أما القيم الافتراضية (n=3، λ=2، وx يبدأ من -1، بخطوة 0.02، و101 صف) فتمسح نافذة التعامد كاملةً من -1 إلى +1.
شرح الصيغة
بدلًا من الصيغة المعتمدة على دالة غاما أو الدوال فوق الهندسية، تستخدم الحاسبة علاقة التكرار الثلاثية الحدود المستقرة عدديًا: $$\left\{ \begin{aligned} C_{0}^{\lambda}(x) &= 1 \\ C_{1}^{\lambda}(x) &= 2\lambda x \\ k\,C_{k}^{\lambda}(x) &= \frac{2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1}^{\lambda}(x) - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}^{\lambda}(x)}{k} \end{aligned} \right.$$ من أجل \(k = 2..n\). وهناك حالتان خاصتان: عند \(\lambda = 1/2\) نحصل على متعددات لوجاندر \(P_{n}\)، وعند \(\lambda = 1\) نحصل على متعددات تشيبيشيف من النوع الثاني \(U_{n}\).
مثال محلول
عند n=3 وλ=2 تُنتج علاقة التكرار \(C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x\). فعند x = -1 تكون القيمة $$32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20$$ وهي أول صف في الجدول. وعند x = 0 تكون القيمة 0، وعند x = 0.5 تكون \(32(0.125) - 6 = -2\)، وعند x = 1 تكون \(32 - 12 = 20\).
الأسئلة الشائعة
هل المتعددة معرَّفة خارج الفترة [-1، 1]؟ نعم. فالمتعددة معرَّفة لكل قيم x الحقيقية؛ والفترة [-1، 1] هي فقط المجال الذي يتحقق فيه التعامد (وهي نافذة الرسم الافتراضية). أما خارجها فتنمو القيم بسرعة كبيرة عند الدرجات الأعلى.
ماذا يحدث عند λ = 0؟ هذه هي الحالة المنحلّة للمتعددة فوق الكروية: إذ تنهار علاقة التكرار، فتُعيد الحاسبة \(C_{0} = 1\) و\(C_{n} = 0\) من أجل \(n \ge 1\). والنهاية ذات المعنى ترتبط بمتعددة تشيبيشيف من النوع الأول عبر العلاقة $$\lim_{\lambda\to0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n} T_{n}(x).$$
كم عدد الصفوف التي يمكنني توليدها؟ اختَر أي عدد \(\ge 1\)؛ وتضع الأداة حدًّا أقصى للطلبات الكبيرة جدًا حفاظًا على سرعة الاستجابة. ويمكن أن يكون مقدار الزيادة صفرًا (فتشترك جميع الصفوف في قيمة x ذاتها)، لكنه يكون عادةً موجبًا.
