Что такое полиномы Гегенбауэра (ультрасферические)?
Полиномы Гегенбауэра, которые также называют ультрасферическими, — это семейство ортогональных полиномов \(C_{n}^{\lambda}(x)\), обобщающее одновременно полиномы Лежандра и Чебышёва. Они ортогональны на отрезке [-1, 1] с весовой функцией \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\). Этот калькулятор вычисляет \(C_{n}^{\lambda}(x)\) сразу для множества значений x, формируя таблицу пар (x, значение) и линейный график. С их помощью удобно изучать форму полинома, его корни и характер колебаний.
Как пользоваться калькулятором
Укажите степень n (целое неотрицательное число), параметр λ (вещественное число; для стандартной ортогональности нужно λ > -1/2), начальное значение x, шаг (расстояние между соседними значениями x) и число повторений (сколько строк построить). Калькулятор перебирает значения $$x_i = \text{начальное\_x} + i\cdot\text{шаг}$$ для i = 0 .. count-1 и вычисляет полином в каждой точке. Значения по умолчанию (n=3, λ=2, x от -1, шаг 0,02, 101 строка) охватывают весь интервал ортогональности от -1 до +1.
Разбор формулы
Вместо записи через гамма-функцию или гипергеометрический ряд калькулятор применяет численно устойчивое трёхчленное рекуррентное соотношение: \(C_{0}^{\lambda}(x) = 1\), \(C_{1}^{\lambda}(x) = 2\lambda x\), и для k = 2..n справедливо $$C_{k} = \frac{2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1} - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}}{k}.$$ Частные случаи: при \(\lambda = 1/2\) получаются полиномы Лежандра \(P_{n}\), а при \(\lambda = 1\) — полиномы Чебышёва второго рода \(U_{n}\).
Пример расчёта
При n=3 и λ=2 рекуррентное соотношение даёт $$C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x.$$ При x = -1 получаем \(32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20\) — это первая строка таблицы. При x = 0 значение равно 0, при x = 0,5 оно равно \(32(0{,}125) - 6 = -2\), а при x = 1 имеем \(32 - 12 = 20\).
Частые вопросы
Определён ли полином за пределами [-1, 1]? Да. Полином определён для всех вещественных x; отрезок [-1, 1] — это лишь область, где выполняется ортогональность (и где по умолчанию строится график). За его пределами при больших n значения растут очень быстро.
Что происходит при λ = 0? Это вырожденный ультрасферический случай: рекуррентное соотношение «схлопывается», поэтому калькулятор возвращает \(C_{0} = 1\) и \(C_{n} = 0\) при n ≥ 1. Содержательный предел связывает их с полиномами Чебышёва первого рода: $$\lim_{\lambda\to 0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n}\,T_{n}(x).$$
Сколько строк можно построить? Выберите любое число ≥ 1; для скорости работы калькулятор ограничивает слишком большие запросы. Шаг может быть равен нулю (тогда у всех строк одинаковый x), но обычно он положительный.
