Что делает этот калькулятор
Этот инструмент выносит за скобки наибольший общий множитель (НОД) из многочлена. По списку членов, например \(12x^3, -18x^2, 6x\), он находит наибольшее число и наибольшую комбинацию переменных, на которые делится каждый член, а затем переписывает многочлен в виде произведения этого НОД и более простого многочлена в скобках. Это первый шаг в большинстве задач на разложение на множители, и он работает с любым количеством членов.
Как пользоваться
Введите каждый член многочлена с новой строки (или разделите члены запятыми). Для степеней используйте символ «крышечку», например x^2 для «икс в квадрате», и обязательно указывайте знак каждого члена. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть НОД, члены после деления внутри скобок и полностью разложенное выражение.
Как работает формула
НОД состоит из двух частей. Сначала находим наибольший общий делитель числовых коэффициентов с помощью алгоритма Евклида. Затем для каждой переменной, которая встречается в каждом члене, берём наименьшую степень, в которой она входит. Произведение этих частей и есть НОД. Поделив каждый исходный член на НОД, получаем многочлен, который остаётся в скобках.
$$\text{Polynomial} = \text{GCF} \times \left( \frac{\text{Term}_1}{\text{GCF}} + \frac{\text{Term}_2}{\text{GCF}} + \cdots \right)$$$$\begin{gathered} \text{Polynomial} = \text{GCF} \times \left( \dfrac{\text{Term}_1}{\text{GCF}} + \dfrac{\text{Term}_2}{\text{GCF}} + \cdots \right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \text{GCF} &= \gcd(\text{coefficients}) \cdot \prod v^{\min(e_v)} \\ \text{Term}_i &= \text{each entry in } \text{Polynomial terms} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Разбор примера
Разложим 12x^3 - 18x^2 + 6x. Коэффициенты — 12, 18 и 6; их НОД равен 6. В каждом члене есть \(x\), наименьшая степень — \(x^1\), поэтому буквенная часть равна \(x\). Общий множитель — \(6x\). Поделив каждый член на \(6x\), получаем \(2x^2 - 3x + 1\). Ответ: \(6x(2x^2 - 3x + 1)\).
Частые вопросы
Что делать, если общего множителя нет? Тогда НОД равен 1, и для этого шага многочлен уже находится в простейшем виде.
Работает ли калькулятор с отрицательным старшим членом? Да. НОД берётся как положительное число, а знаки сохраняются в членах после деления.
Раскладывает ли он на множители полностью? Нет, он только выносит за скобки НОД. Оставшийся многочлен часто можно разложить дальше (например, как трёхчлен или разность квадратов).
