이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 다항식에서 최대공약수(GCF, Greatest Common Factor)를 묶어냅니다. 예를 들어 \(12x^3\), \(-18x^2\), \(6x\) 같은 항들을 입력하면, 모든 항을 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수와 변수의 가장 높은 조합을 찾아 다항식을 'GCF × 괄호 안의 더 단순한 다항식' 형태로 다시 씁니다. 이는 대부분의 인수분해 문제에서 가장 먼저 거치는 단계이며, 항의 개수에 관계없이 적용됩니다.
사용 방법
다항식의 각 항을 한 줄에 하나씩 입력하거나 쉼표로 구분해 입력하세요. 지수는 캐럿 기호를 사용합니다. 예를 들어 x의 제곱은 x^2로 쓰고, 각 항의 부호도 함께 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 GCF, 괄호 안에 들어갈 나누어진 항들, 그리고 완전히 인수분해된 식을 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
GCF는 두 부분으로 이루어집니다. 첫째, 유클리드 호제법을 이용해 숫자 계수들의 최대공약수를 구합니다. 둘째, 모든 항에 공통으로 나타나는 변수마다 가장 낮은 지수를 취합니다. 이 둘을 곱한 것이 GCF입니다. 원래의 각 항을 GCF로 나누면 괄호 안에 들어갈 다항식이 됩니다.
$$\text{Polynomial} = \text{GCF} \times \left( \frac{\text{Term}_1}{\text{GCF}} + \frac{\text{Term}_2}{\text{GCF}} + \cdots \right)$$$$\begin{gathered} \text{Polynomial} = \text{GCF} \times \left( \dfrac{\text{Term}_1}{\text{GCF}} + \dfrac{\text{Term}_2}{\text{GCF}} + \cdots \right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \text{GCF} &= \gcd(\text{coefficients}) \cdot \prod v^{\min(e_v)} \\ \text{Term}_i &= \text{each entry in } \text{Polynomial terms} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
예제 풀이
12x^3 - 18x^2 + 6x를 인수분해해 봅시다. 계수는 12, 18, 6이고 이들의 GCF는 6입니다. 모든 항에 x가 들어 있으며 가장 낮은 차수는 \(x^1\)이므로 변수 부분은 \(x\)입니다. 따라서 전체 GCF는 \(6x\)입니다. 각 항을 \(6x\)로 나누면 \(2x^2 - 3x + 1\)이 됩니다. 답은 \(6x(2x^2 - 3x + 1)\)입니다.
자주 묻는 질문
공통인수가 없으면 어떻게 되나요? 이 경우 GCF는 1이며, 이 단계에서는 다항식이 이미 가장 단순한 인수분해 형태입니다.
맨 앞 항이 음수여도 처리되나요? 네. GCF는 항상 양수로 잡으며, 부호는 나누어진 항들 안에 그대로 유지됩니다.
완전히 인수분해해 주나요? 이 도구는 GCF만 묶어냅니다. 남은 다항식은 삼항식이나 제곱의 차 등으로 더 인수분해할 수 있는 경우가 많습니다.
