공약수란 무엇인가요?
공약수(공통 약수)란 두 정수를 모두 나머지 없이 나누어떨어지게 하는 수를 말합니다. 예를 들어 6은 12와 18을 모두 깔끔하게 나누므로, 6은 12와 18의 공약수입니다. 모든 양의 정수 쌍은 적어도 하나의 공약수를 가지는데, 바로 1입니다. 이 계산기는 어떤 두 수에 대해서도 공약수 전체 목록과 함께 최대공약수(GCF)를 찾아줍니다.
계산기 사용법
\(a\)와 \(b\)로 표시된 칸에 두 정수를 입력하면 결과가 바로 표시됩니다. 상단 결과 박스에는 모든 공약수가 크기 순으로 나열되고, 아래 표에는 공약수의 개수와 함께 목록 중 가장 큰 수인 최대공약수(GCF)가 강조되어 나타납니다. 어떤 양의 정수에도 사용할 수 있으며, 분수 약분이나 인수분해, 정수론 과제 풀이에 유용합니다.
공식 풀이
이 계산기는 1부터 두 수 중 작은 값까지 각 정수 \(d\)를 차례로 확인합니다. \(a \bmod d = 0\)이면서 동시에 \(b \bmod d = 0\)일 때, 즉 두 나눗셈 모두 나머지가 0일 때 그 \(d\)는 공약수가 됩니다.
$$\text{Common factors} = \{\, d : a \bmod d = 0 \;\text{and}\; b \bmod d = 0 \,\}$$이렇게 조건을 만족하는 값을 모두 모으면 공약수 집합이 되고, 그중 가장 큰 값이 최대공약수(GCF)입니다.
$$\text{GCF}(a,b) = \max\{\, d : a \bmod d = 0,\; b \bmod d = 0 \,\}$$예제로 살펴보기
\(a = 12\), \(b = 18\)인 경우를 살펴봅시다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18입니다. 두 목록에 공통으로 나타나는 수는 1, 2, 3, 6입니다. 따라서 공약수는 4개이고, 최대공약수는 6입니다.
자주 묻는 질문
두 수는 항상 공약수를 가지나요? 네. 모든 양의 정수 쌍은 1이라는 공약수를 공유합니다. 만약 1이 유일한 공약수라면 그 두 수는 서로소(coprime)라고 합니다.
공약수와 최대공약수(GCF)는 어떻게 다른가요? 공약수는 두 수가 공통으로 가지는 모든 약수를 말하고, 최대공약수(GCF)는 그중 가장 큰 하나를 가리킵니다.
음수나 0도 입력할 수 있나요? 이 계산기는 양의 정수를 기준으로 합니다. 음수를 입력하면 절댓값으로 처리하며, 1보다 작은 값은 1로 보정됩니다.
