Qu'est-ce qu'un diviseur commun ?
Un diviseur commun (aussi appelé facteur commun) de deux entiers est un nombre qui les divise tous les deux exactement, sans laisser de reste. Par exemple, 6 divise à la fois 12 et 18 sans reste : 6 est donc un diviseur commun de 12 et 18. Toute paire d'entiers positifs partage au moins un diviseur commun : le nombre 1. Ce calculateur établit la liste complète des diviseurs communs de deux nombres quelconques, ainsi que leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Comment utiliser le calculateur
Saisissez vos deux entiers dans les champs intitulés a et b, puis consultez les résultats. L'encadré principal affiche tous les diviseurs communs dans l'ordre croissant ; le tableau situé en dessous indique combien il y en a et met en évidence le plus grand commun diviseur (PGCD), c'est-à-dire le plus grand nombre de la liste. L'outil fonctionne avec tous les entiers positifs et s'avère pratique pour simplifier des fractions, factoriser ou faire ses exercices d'arithmétique.
La formule expliquée
Le calculateur teste chaque entier d compris entre 1 et le plus petit des deux nombres. Une valeur de d est un diviseur commun lorsque \(a \bmod d = 0\) et \(b \bmod d = 0\) — autrement dit, lorsque aucune des deux divisions ne laisse de reste.
$$\text{Diviseurs communs} = \{\, d : a \bmod d = 0 \;\text{et}\; b \bmod d = 0 \,\}$$En rassemblant toutes les valeurs qui conviennent, on obtient l'ensemble des diviseurs communs, et la plus grande d'entre elles est le PGCD.
$$\text{PGCD}(a,b) = \max\{\, d : a \bmod d = 0,\; b \bmod d = 0 \,\}$$Exemple concret
Prenons \(a = 12\) et \(b = 18\). Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Les valeurs présentes dans les deux listes sont 1, 2, 3, 6. Il y a donc 4 diviseurs communs, et le plus grand commun diviseur est 6.
Questions fréquentes
Deux nombres ont-ils toujours un diviseur commun ? Oui : toute paire d'entiers positifs partage le diviseur 1. Si 1 est leur seul diviseur commun, on dit que les nombres sont premiers entre eux.
Quelle différence entre un diviseur commun et le PGCD ? Les diviseurs communs sont l'ensemble des diviseurs partagés ; le PGCD est tout simplement le plus grand d'entre eux.
Puis-je utiliser des nombres négatifs ou zéro ? Cet outil utilise des entiers positifs. Les valeurs négatives sont prises en compte par leur valeur absolue, et les valeurs inférieures à 1 sont ramenées à 1.
