Qu'est-ce que la mise sous forme canonique ?
Compléter le carré consiste à réécrire une expression du second degré \(ax^2 + bx + c\) sous sa forme canonique équivalente \(a(x - h)^2 + k\). Cette écriture révèle immédiatement le sommet de la parabole, situé au point \((h, k)\). Elle facilite le tracé de la courbe, la recherche du maximum ou du minimum, ainsi que la résolution des équations du second degré.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez les trois coefficients : \(a\) (le coefficient de \(x^2\)), \(b\) (le coefficient de \(x\)) et \(c\) (le terme constant). Le calculateur renvoie la forme canonique, les valeurs de \(h\) et de \(k\), ainsi que les coordonnées du sommet. Attention : \(a\) ne peut pas être nul, sinon l'expression n'est plus du second degré.
La formule expliquée
À partir de \(ax^2 + bx + c\), on factorise \(a\) dans les deux premiers termes, puis on ajoute et retranche le terme carré. On obtient $$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$ avec \(h = -\dfrac{b}{2a}\) et \(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\). La valeur \(h\) décale la parabole horizontalement, tandis que \(k\) la décale verticalement.
Exemple résolu
Pour \(x^2 + 6x + 5\) : \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\). On calcule alors $$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3 \qquad k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4$$ Ainsi, \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\), avec un sommet en \((-3, -4)\).
Questions fréquentes
Pourquoi le sommet est-il en \((h, k)\) ? Comme \(a(x - h)^2\) est toujours \(\geq 0\) (ou \(\leq 0\) si \(a\) est négatif), l'expression atteint sa valeur extrême \(k\) précisément lorsque \(x = h\).
Cela résout-il l'équation ? En posant \(a(x - h)^2 + k = 0\) et en isolant \(x\), on obtient les racines. Compléter le carré est donc le fondement même de la formule de résolution du second degré (formule du discriminant).
Et si \(a\) est négatif ? La parabole est alors tournée vers le bas et le sommet correspond à un maximum, mais les mêmes formules restent valables.
