配方法計算器

輸入計算

a（x² 的係數）

b（x 的係數）

c（常數項）

結果

頂點式（配方後）

1(x − -3)² + -4

a(x − h)² + k

h（水平平移）	-3
k（垂直平移）	-4
頂點 (h, k)	(-3, -4)

什麼是配方法？

配方法（completing the square）是把二次式 \(ax^2 + bx + c\) 改寫成等價的頂點式 \(a(x - h)^2 + k\)。這種形式能直接看出拋物線的頂點落在 \((h, k)\)，讓你輕鬆繪圖、求出最大值或最小值，並解出二次方程式的根。

配方法揭示了拋物線的頂點 \((h, k)\)。

計算器怎麼用

輸入三個係數：a（x² 的係數）、b（x 的係數）與 c（常數項）。計算器會回傳配方後的頂點式，並列出 h、k 以及頂點座標。請注意 a 不可為 0，否則該式子就不是二次式了。

公式解析

從 \(ax^2 + bx + c\) 出發，先把前兩項提出公因數 a，再加減一個平方項補成完全平方。整理後即得 \(a(x - h)^2 + k\)，其中

$$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$

h 控制拋物線的左右平移，k 則控制上下平移。

幾何意義：拼成一個完整的正方形後，會剩下一個需要加上的小常數 \((k)\)。

實例演算

以 \(x^2 + 6x + 5\) 為例：\(a = 1\)、\(b = 6\)、\(c = 5\)。代入後

$$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3,\quad k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4$$

因此 \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\)，頂點位於 \((-3, -4)\)。

常見問題

為什麼頂點是 \((h, k)\)？因為 \(a(x - h)^2\) 永遠 \(\geq 0\)（當 a 為負時則 \(\leq 0\)），所以當 \(x = h\) 時，整個式子恰好達到極值 k。

這樣能解方程式嗎？把 \(a(x - h)^2 + k = 0\) 設為 0 並解出 x，就能得到方程式的根；事實上，配方法正是二次公式（求根公式）的推導基礎。

如果 a 是負數呢？此時拋物線開口朝下，頂點為最大值，但上述公式依然適用。