Kareye Tamamlama Nedir?
Kareye tamamlama, \(ax^2 + bx + c\) biçimindeki ikinci dereceden bir ifadeyi ona denk olan \(a(x - h)^2 + k\) tepe noktası formuna dönüştürür. Bu form, parabolün tepe noktasını doğrudan \((h, k)\) noktasında gösterir; böylece grafiğini çizmek, en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) değerleri bulmak ve ikinci dereceden denklemleri çözmek çok kolaylaşır.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Üç katsayıyı girin: a (x²'nin katsayısı), b (x'in katsayısı) ve c (sabit terim). Hesaplayıcı, kareye tamamlanmış formu h, k değerleri ve tepe noktası koordinatlarıyla birlikte verir. Unutmayın: a sıfır olamaz; aksi takdirde ifade artık ikinci dereceden değildir.
Formülün Açıklaması
\(ax^2 + bx + c\) ifadesinden yola çıkarak ilk iki terimden a'yı paranteze alır, ardından kare terimini ekleyip çıkarırız. Sonuç şudur:
$$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$burada \(h = -\frac{b}{2a}\) ve \(k = c - \frac{b^2}{4a}\)'dır. h değeri parabolü yatay olarak, k değeri ise dikey olarak kaydırır.
Çözümlü Örnek
\(x^2 + 6x + 5\) ifadesi için: \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\). Buradan $$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3$$ ve $$k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4$$ bulunur. Yani \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\) olur ve tepe noktası \((-3, -4)\)'tür.
Sıkça Sorulan Sorular
Tepe noktası neden (h, k)? \(a(x - h)^2\) ifadesi her zaman \(\geq 0\)'dır (a negatifse \(\leq 0\)). Bu nedenle ifade, en uç değeri olan k'ye tam olarak \(x = h\) olduğunda ulaşır.
Bu denklemi de çözer mi? \(a(x - h)^2 + k = 0\) yazıp x için çözdüğünüzde kökleri elde edersiniz; dolayısıyla kareye tamamlama, ikinci dereceden denklem formülünün de temelini oluşturur.
a negatifse ne olur? Parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası bir maksimum olur; ancak aynı formüller geçerlidir.
