Hoàn thành bình phương là gì?
Hoàn thành bình phương là cách biến đổi biểu thức bậc hai \(ax^2 + bx + c\) về dạng đỉnh tương đương \(a(x - h)^2 + k\). Dạng này cho biết ngay đỉnh của parabol nằm tại điểm (h, k), nhờ đó việc vẽ đồ thị, tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất và giải phương trình bậc hai trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Cách dùng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba hệ số: a (hệ số của \(x^2\)), b (hệ số của \(x\)) và c (hằng số tự do). Máy tính sẽ trả về dạng hoàn thành bình phương cùng với giá trị h, k và tọa độ đỉnh. Lưu ý rằng a không được bằng 0, vì khi đó biểu thức không còn là bậc hai nữa.
Giải thích công thức
Xuất phát từ \(ax^2 + bx + c\), ta đặt a làm nhân tử chung cho hai số hạng đầu rồi thêm và bớt số hạng bình phương. Kết quả thu được là \(a(x - h)^2 + k\), trong đó \(h = -\frac{b}{2a}\) và \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). Giá trị h tịnh tiến parabol theo phương ngang, còn k tịnh tiến theo phương đứng.
$$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$
Ví dụ minh họa
Với \(x^2 + 6x + 5\): \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\). Khi đó $$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3$$ và $$k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4.$$ Vậy \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\), với đỉnh tại (−3, −4).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao đỉnh lại là (h, k)? Vì \(a(x - h)^2\) luôn \(\geq 0\) (hoặc \(\leq 0\) khi a âm), nên biểu thức đạt giá trị cực trị bằng k đúng tại thời điểm \(x = h\).
Cách này có giải được phương trình không? Có. Cho \(a(x - h)^2 + k = 0\) rồi giải tìm x ta sẽ được các nghiệm, vì vậy hoàn thành bình phương chính là cơ sở để xây dựng công thức nghiệm bậc hai.
Nếu a âm thì sao? Khi đó parabol quay bề lõm xuống dưới và đỉnh là giá trị lớn nhất, nhưng các công thức vẫn áp dụng y như cũ.
