¿Qué es completar el cuadrado?
Completar el cuadrado consiste en reescribir una expresión cuadrática \(ax^2 + bx + c\) en su forma equivalente, llamada forma canónica o forma del vértice: \(a(x - h)^2 + k\). Esta forma revela de inmediato el vértice de la parábola en el punto \((h, k)\), lo que facilita representarla gráficamente, hallar sus valores máximos o mínimos y resolver ecuaciones de segundo grado.
Cómo usar la calculadora
Introduce los tres coeficientes: a (el coeficiente de x²), b (el coeficiente de x) y c (el término independiente). La calculadora te devuelve la forma canónica junto con los valores de h, k y las coordenadas del vértice. Ten en cuenta que a no puede ser cero; de lo contrario, la expresión deja de ser cuadrática.
La fórmula paso a paso
Partiendo de \(ax^2 + bx + c\), se saca factor común a en los dos primeros términos y se suma y resta el término que completa el cuadrado. El resultado es \(a(x - h)^2 + k\), donde \(h = -\frac{b}{2a}\) y \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). El valor de h desplaza la parábola en horizontal y el de k la desplaza en vertical.
$$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$
Ejemplo resuelto
Para \(x^2 + 6x + 5\): \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\). Entonces $$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3$$ y $$k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4.$$ Por lo tanto, \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\), con el vértice en \((-3, -4)\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué el vértice es (h, k)? Como \(a(x - h)^2\) siempre es \(\geq 0\) (o \(\leq 0\) si a es negativo), la expresión alcanza su valor extremo, igual a k, justo cuando \(x = h\).
¿Sirve esto para resolver la ecuación? Si igualamos \(a(x - h)^2 + k = 0\) y despejamos x, obtenemos las raíces. Por eso, completar el cuadrado es la base de la fórmula general de la ecuación de segundo grado.
¿Y si a es negativo? La parábola se abre hacia abajo y el vértice es un máximo, pero se aplican exactamente las mismas fórmulas.
