平方完成とは？
平方完成とは、二次式 \(ax^2 + bx + c\) を、同じ値を表す頂点形式 \(a(x - h)^2 + k\) に書き換える操作です。この形にすると放物線の頂点が点 \((h, k)\) としてひと目でわかり、グラフを描いたり、最大値・最小値を求めたり、二次方程式を解いたりするのがぐっと簡単になります。
計算ツールの使い方
3つの係数を入力するだけです。a（x² の係数）、b（x の係数）、c（定数項）を入れると、平方完成した形に加えて h、k、そして頂点の座標が表示されます。なお a は 0 にできません。0 にすると二次式ではなくなってしまうためです。
公式のしくみ
\(ax^2 + bx + c\) から出発し、最初の2項から a をくくり出して平方の項を足し引きします。すると \(a(x - h)^2 + k\) の形になり、ここで \(h = -\dfrac{b}{2a}\)、\(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\) です。h は放物線を左右（水平方向）に、k は上下（垂直方向）に移動させる値を表します。
$$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$
計算例
\(x^2 + 6x + 5\) の場合、\(a = 1\)、\(b = 6\)、\(c = 5\) です。すると \(h = -\dfrac{6}{2\cdot 1} = -3\)、\(k = 5 - \dfrac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4\) となります。したがって $$x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4$$ で、頂点は \((-3, -4)\) です。
よくある質問
なぜ頂点が (h, k) になるの？ \(a(x - h)^2\) は常に 0 以上（a が負なら 0 以下）なので、\(x = h\) のときにちょうど式が極値 k に達するからです。
これで方程式も解ける？ \(a(x - h)^2 + k = 0\) とおいて x について解けば解（根）が得られます。平方完成こそが解の公式の土台になっているのです。
a が負のときは？ 放物線は下に開き、頂点は最大値になりますが、使う公式はまったく同じです。
