平方完成・頂点計算ツール｜二次関数の最大値・最小値を瞬時に算出

結果

Minimum Value

-1

at x = 2

頂点の x*	2
極値（最大値・最小値）	-1
種類（1 = 最小値、−1 = 最大値）	Minimum (opens up)

このツールでできること

このツールは、一般形 $f(x) = ax^2 + bx + c$ で表されるあらゆる二次関数を分析します。平方完成を行うと、どんな二次関数も $f(x) = a(x - h)^2 + k$ の形に書き直すことができ、点 $(h, k)$ が放物線の頂点になります。本計算ツールはその頂点を求め、それが最小値なのか最大値なのかを判定します。

使い方

3つの係数 a・b・c を入力してください。係数 a は 0 以外である必要があります（0 の場合は二次関数ではなく一次関数になります）。「計算」を押すと、頂点の x 座標・極値（最大値または最小値）、そして放物線が上に開く（最小値をもつ）か下に開く（最大値をもつ）かが表示されます。

公式の解説

頂点の x 座標は $$x^* = -\frac{b}{2a}$$ で求められます。これを関数に代入すると、極値 $$k = c - \frac{b^2}{4a}$$ が得られます。$a > 0$ のときは放物線が上に開くため、この点は最小値になります。$a < 0$ のときは下に開くため、最大値になります。

平方完成によって標準形の二次式を頂点形式に変形 — 平方完成すると $ax^2 + bx + c$ は $a(x - h)^2 + k$ に書き換えられます。

x-y軸上で上に開く放物線、最下点に頂点が示されている — 頂点は $x = -b/(2a)$ にあり、二次関数の最小値（または最大値）を与えます。

計算例

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ を考えます。このとき $a = 1$、$b = -4$、$c = 3$ です。頂点の x は $$-\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$ 極値は $$3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ となります。$a > 0$ なので、これは点 $(2, -1)$ における最小値です。