이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 표준형 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)로 표현된 모든 이차함수를 분석합니다. 완전제곱식으로 변형하면 어떤 이차함수든 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) 꼴로 바꿀 수 있으며, 이때 \((h, k)\)가 바로 포물선의 꼭짓점입니다. 계산기는 이 꼭짓점을 찾아 주고, 그 점이 최솟값인지 최댓값인지도 알려 줍니다.
사용 방법
세 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 계수 \(a\)는 0이 될 수 없습니다(0이면 이차식이 아니라 일차식이 됩니다). 계산 버튼을 누르면 꼭짓점의 \(x\)좌표, 극값, 그리고 포물선이 위로 볼록한지(최솟값) 아래로 볼록한지(최댓값)를 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
꼭짓점의 \(x\)좌표는 $$x^* = -\frac{b}{2a}$$입니다. 이 값을 함수에 다시 대입하면 극값 $$k = c - \frac{b^2}{4a}$$를 얻습니다. \(a > 0\)이면 포물선이 위로 열려 이 점이 최솟값이 되고, \(a < 0\)이면 아래로 열려 최댓값이 됩니다.
예제 풀이
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)을 예로 들면 \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)입니다. 꼭짓점의 \(x\)는 $$\frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$입니다. 극값은 $$3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$입니다. \(a > 0\)이므로 이 점 \((2, -1)\)은 최솟값입니다.
자주 묻는 질문
\(a = 0\)이면 어떻게 되나요? 이 경우 함수는 일차식이 되어 꼭짓점이 존재하지 않습니다. 계산기가 이 상황을 알려 줍니다.
극값이 꼭짓점의 \(y\)좌표인가요? 맞습니다. 꼭짓점은 \((x^*, \text{극값})\)입니다.
이것이 완전제곱식과 어떤 관계가 있나요? 완전제곱식은 \(ax^2 + bx + c\)를 \(a(x - h)^2 + k\) 꼴로 다시 쓰는 것이며, 이때 \(h = x^*\), \(k = \text{극값}\)입니다.
