這個計算機的功用
這個工具可以分析任何以標準式表示的二次函數，也就是 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)。透過「配方法」，每一個二次函數都能改寫成 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) 的形式，其中 \((h, k)\) 就是拋物線的頂點。計算機會直接幫你找出這個頂點，並判斷它是最小值還是最大值。
使用方式
輸入 \(a\)、\(b\)、\(c\) 三個係數即可。其中 \(a\) 不可以等於 0，否則整個式子就變成一次（線性）函數，而非二次函數。按下計算後，就能看到頂點的 \(x\) 座標、極值，以及拋物線是開口向上（最小值）還是開口向下（最大值）。
公式解析
頂點的 \(x\) 座標為 $$x^* = -\frac{b}{2a}.$$ 把這個值代回原函數，就能得到極值 $$k = c - \frac{b^2}{4a}.$$ 當 \(a > 0\) 時，拋物線開口向上，因此這個點是最小值；當 \(a < 0\) 時，開口向下，這個點便是最大值。
實際範例
以 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) 為例，此時 \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\)。頂點 \(x\) 為 $$-\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ 極值為 $$3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ 由於 \(a > 0\)，這是一個最小值，位於 \((2, -1)\) 這個點上。
常見問題
如果 \(a = 0\) 會怎樣？此時函數會變成一次函數，沒有頂點可言，計算機會特別標示出這種情況。
極值就是頂點的 \(y\) 座標嗎？沒錯。頂點的座標就是 \((x^*, \text{極值})\)。
這跟配方法有什麼關係？配方法就是把 \(ax^2 + bx + c\) 改寫成 \(a(x - h)^2 + k\)，其中 \(h = x^*\)，而 \(k\) 就是極值。
