什麼是超幾何分布？
超幾何分布用來描述：從一個總數為 \(N\)、其中含有 \(K\) 個「成功」項目的有限母體中，以不放回方式抽取 \(n\) 次，恰好抽中 \(k\) 個成功項目的機率。它和二項分布最大的差別在於——二項分布假設每次抽取都會放回、機率維持固定，而超幾何分布則考慮到每抽走一個項目，剩餘母體的組成都會隨之改變。
如何使用這個計算器
請輸入四個整數：母體大小 \(N\)、母體中的成功數 \(K\)、樣本大小 \(n\)，以及觀察到的成功數 \(k\)。計算器會回傳恰好抽中 \(k\) 個的精確機率 \(P(X=k)\)、累積機率 \(P(X \le k)\) 與 \(P(X \ge k)\)，以及該分布的平均數與變異數。
公式說明
\(P(X=k)\) 的計算方式為：從 \(K\) 個成功中選出 \(k\) 個的組合數，乘上從 \(N-K\) 個失敗中選出剩下 \(n-k\) 個的組合數，再除以從 \(N\) 個中選出 \(n\) 個的總組合數。
$$P(X = k) = \dfrac{\dbinom{K}{k}\dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}$$平均數為 \(\mu = n \cdot K/N\)；變異數為 \(\sigma^{2} = n \cdot (K/N) \cdot ((N-K)/N) \cdot ((N-n)/(N-1))\)，其中最後一項即為「有限母體校正因子」。
$$\begin{gathered} \mu = n\,\dfrac{K}{N} \\[1em] \sigma^{2} = n\,\dfrac{K}{N}\,\dfrac{N-K}{N}\,\dfrac{N-n}{N-1} \end{gathered}$$
實例演算
一副標準撲克牌共 52 張，其中 \(K=4\) 張為 A。若抽取 \(n=5\) 張牌，恰好抽中 \(k=2\) 張 A 的機率為
$$\frac{C(4,2)\cdot C(48,3)}{C(52,5)} = \frac{6 \cdot 17296}{2598960} \approx 0.039929$$而 A 的期望張數則為 \(5 \cdot 4/52 \approx 0.3846\)。
常見問題
什麼時候該用超幾何分布，而不是二項分布？當你從一個較小的有限母體中以不放回方式抽樣時，請使用超幾何分布；若每次抽取彼此獨立，或母體大到近乎無限，則使用二項分布。
\(P(X \ge k)\) 代表什麼意思？它表示「至少」抽中 \(k\) 個成功項目的機率，常用於尾端檢定，例如品質管制中的允收抽樣。
\(k\) 可以大於 \(K\) 或 \(n\) 嗎？若 \(k\) 超過 \(K\) 與 \(n\) 之中較小的那個值，機率即為 0，因為這樣的結果根本不可能發生。
