Hipergeometrik Olasılık Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Popülasyon büyüklüğü (N)

Popülasyondaki başarı sayısı (K)

Örneklem büyüklüğü (n)

Gözlemlenen başarı sayısı (k)

Formül

Show calculation steps (2)

1. Cumulative Probabilities

   

   P(X <= k) and P(X >= k) summed over the support of the hypergeometric distribution

2. Mean and Variance

   

   Expected value and variance of the hypergeometric distribution

Sonuç

P(X = k)

0,20984

k başarının kesin olasılığı

P(X ≤ k)	0,95174
P(X ≥ k)	0,2581
Ortalama (beklenen başarı sayısı)	1
Varyans	0,7347

Hipergeometrik dağılım nedir?

Hipergeometrik dağılım, toplam K başarı içeren ve N büyüklüğündeki sonlu bir popülasyondan iadesiz olarak yapılan n çekilişte tam olarak k başarı elde etme olasılığını tanımlar. İadeli çekilişi ve sabit olasılığı varsayan binom dağılımının aksine, hipergeometrik dağılım her çekilişin kalan popülasyonun bileşimini değiştirdiği gerçeğini hesaba katar.

Yerine koymadan örnekleme: K başarı içeren N büyüklüğündeki bir popülasyondan n öğe çekme.

Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Dört tam sayı girin: popülasyon büyüklüğü N, popülasyondaki başarı sayısı K, örneklem büyüklüğü n ve gözlemlenen başarı sayısı k. Hesaplayıcı; kesin olasılık \(P(X=k)\), kümülatif olasılıklar \(P(X\le k)\) ve \(P(X\ge k)\) ile dağılımın ortalama ve varyans değerlerini verir.

Formülün açıklaması

\(P(X=k)\), K başarı arasından k tanesini seçmenin yol sayısı ile N−K başarısızlık arasından kalan n−k öğeyi seçmenin yol sayısının çarpımının, N öğe arasından n tanesini seçmenin toplam yol sayısına bölünmesine eşittir.

$$P(X = \text{k}) = \dfrac{\dbinom{\text{K}}{\text{k}}\dbinom{\text{N}-\text{K}}{\text{n}-\text{k}}}{\dbinom{\text{N}}{\text{n}}}$$

Ortalama \(\mu = \text{n}\cdot\text{K}/\text{N}\), varyans ise \(\sigma^{2} = \text{n}\cdot(\text{K}/\text{N})\cdot((\text{N}-\text{K})/\text{N})\cdot((\text{N}-\text{n})/(\text{N}-1))\) şeklindedir; buradaki son çarpan sonlu popülasyon düzeltmesidir.

$$\begin{gathered} \mu = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}} \\[1em] \sigma^{2} = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{n}}{\text{N}-1} \end{gathered}$$

Reklam

Hipergeometrik OKF: örneklemde tam olarak k başarı olma olasılığı.

Çözümlü örnek

Standart 52 kartlık bir desteyde K=4 as bulunur. n=5 kart çekelim. Tam olarak k=2 as gelme olasılığı

$$\frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6\cdot 17296}{2598960} \approx 0{,}039929$$

olur. Beklenen as sayısı ise \(5\cdot 4/52 \approx 0{,}3846\)'dır.

Sıkça Sorulan Sorular

Binom yerine ne zaman hipergeometrik kullanmalıyım? Küçük ve sonlu bir popülasyondan iadesiz örnekleme yaparken hipergeometrik dağılımı; çekilişler bağımsızken veya popülasyon pratikte sonsuzken binom dağılımını kullanın.

\(P(X\ge k)\) ne anlama gelir? En az k başarı elde etme olasılığıdır; kalite kontrol kabul örneklemesi gibi kuyruk testleri için kullanışlıdır.

k, K veya n'den büyük olabilir mi? Eğer k, K ile n'nin küçük olanını aşarsa olasılık 0'dır; çünkü böyle bir sonuç imkânsızdır.