Qu'est-ce que la loi hypergéométrique ?
La loi hypergéométrique décrit la probabilité d'obtenir exactement k succès lors de n tirages effectués sans remise dans une population finie de taille N contenant K succès au total. Contrairement à la loi binomiale (qui suppose un tirage avec remise et une probabilité constante), la loi hypergéométrique tient compte du fait que chaque tirage modifie la composition de la population restante.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez quatre nombres entiers : la taille de la population N, le nombre de succès dans la population K, la taille de l'échantillon n et le nombre de succès observés k. Le calculateur renvoie la probabilité exacte \(P(X=k)\), les probabilités cumulées \(P(X\le k)\) et \(P(X\ge k)\), ainsi que l'espérance et la variance de la loi.
La formule expliquée
\(P(X=k)\) est égal au nombre de façons de choisir k succès parmi K, multiplié par le nombre de façons de choisir les n−k éléments restants parmi les N−K échecs, le tout divisé par le nombre total de façons de choisir n éléments parmi N.
$$P(X = k) = \dfrac{\dbinom{K}{k}\dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}$$L'espérance vaut \(\mu = n\,\dfrac{K}{N}\) et la variance \(\sigma^{2} = n\,\dfrac{K}{N}\,\dfrac{N-K}{N}\,\dfrac{N-n}{N-1}\), où le dernier facteur correspond à la correction pour population finie.
$$\begin{gathered} \mu = n\,\dfrac{K}{N} \\[1em] \sigma^{2} = n\,\dfrac{K}{N}\,\dfrac{N-K}{N}\,\dfrac{N-n}{N-1} \end{gathered}$$
Exemple résolu
Un jeu de 52 cartes contient K=4 as. On tire n=5 cartes. La probabilité d'obtenir exactement k=2 as est $$\dfrac{\dbinom{4}{2}\dbinom{48}{3}}{\dbinom{52}{5}} = \dfrac{6\cdot 17296}{2598960} \approx 0{,}039929.$$ Le nombre d'as attendu en moyenne est \(5\cdot\dfrac{4}{52} \approx 0{,}3846\).
FAQ
Quand utiliser la loi hypergéométrique plutôt que la loi binomiale ? Utilisez la loi hypergéométrique pour un tirage sans remise dans une petite population finie ; préférez la loi binomiale lorsque les tirages sont indépendants ou que la population peut être considérée comme infinie.
Que signifie \(P(X\ge k)\) ? Il s'agit de la probabilité d'obtenir au moins k succès — utile pour les tests de queue, comme l'échantillonnage d'acceptation en contrôle qualité.
k peut-il être supérieur à K ou à n ? Si k dépasse le plus petit des deux nombres K et n, la probabilité est nulle, car un tel résultat est impossible.
