حاسبة احتمالات التوزيع فوق الهندسي

أدخل الحساب

حجم المجتمع (N)

النجاحات في المجتمع (K)

حجم العينة (n)

النجاحات المرصودة (k)

صيغة رياضية

Show calculation steps (2)

1. Cumulative Probabilities

   

   P(X <= k) and P(X >= k) summed over the support of the hypergeometric distribution

2. Mean and Variance

   

   Expected value and variance of the hypergeometric distribution

نتائج

P(X = k)

٠٫٢٠٩٨٤

الاحتمال الدقيق للحصول على k نجاحًا

P(X ≤ k)	٠٫٩٥١٧٤
P(X ≥ k)	٠٫٢٥٨١
المتوسط (عدد النجاحات المتوقّع)	١
التباين	٠٫٧٣٤٧

ما هو التوزيع فوق الهندسي؟

يصف التوزيع فوق الهندسي احتمال سحب عدد \(k\) من النجاحات بالضبط ضمن \(n\) عمليات سحب تتم دون إرجاع من مجتمع محدود حجمه \(N\) ويحتوي على \(K\) نجاحًا إجماليًا. وعلى عكس التوزيع ذي الحدين (الذي يفترض الإرجاع وثبات الاحتمال)، يأخذ التوزيع فوق الهندسي في الحسبان أن كل عملية سحب تغيّر تركيبة ما تبقّى من المجتمع.

المعاينة دون إرجاع: سحب \(n\) عنصرًا من مجتمع حجمه \(N\) يحتوي على \(K\) نجاحًا.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل أربعة أعداد صحيحة: حجم المجتمع \(N\)، وعدد النجاحات في المجتمع \(K\)، وحجم العينة \(n\)، وعدد النجاحات المرصودة \(k\). تعرض لك الحاسبة الاحتمال الدقيق \(P(X = k)\)، والاحتمالين التراكميين \(P(X \le k)\) و \(P(X \ge k)\)، إضافة إلى متوسط التوزيع وتباينه.

شرح المعادلة

يساوي \(P(X = k)\) عددَ طرق اختيار \(k\) نجاحًا من بين \(K\)، مضروبًا في عدد طرق اختيار العناصر المتبقية \(n-k\) من أصل \(N-K\) حالة فشل، مقسومًا على إجمالي طرق اختيار \(n\) عنصرًا من \(N\).

$$P(X = \text{k}) = \dfrac{\dbinom{\text{K}}{\text{k}}\dbinom{\text{N}-\text{K}}{\text{n}-\text{k}}}{\dbinom{\text{N}}{\text{n}}}$$

أما المتوسط فهو \(\mu = n \cdot K/N\)، والتباين هو \(\sigma^{2} = n \cdot (K/N) \cdot ((N-K)/N) \cdot ((N-n)/(N-1))\)، حيث يمثّل العامل الأخير تصحيح المجتمع المحدود.

$$\begin{gathered} \mu = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}} \\[1em] \sigma^{2} = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{n}}{\text{N}-1} \end{gathered}$$

اعلان

دالة الكتلة الاحتمالية فوق الهندسية: احتمال وجود \(k\) نجاحًا بالضبط في العينة.

مثال محلول

تحتوي مجموعة أوراق اللعب القياسية المكوّنة من 52 ورقة على \(K = 4\) آصات. اسحب \(n = 5\) أوراق. يكون احتمال الحصول على \(k = 2\) من الآصات بالضبط مساويًا لـ $$\dfrac{\dbinom{4}{2}\dbinom{48}{3}}{\dbinom{52}{5}} = \dfrac{6 \cdot 17296}{2598960} \approx 0.039929.$$ والعدد المتوقّع للآصات هو $$5 \cdot \dfrac{4}{52} \approx 0.3846.$$

الأسئلة الشائعة

متى أستخدم التوزيع فوق الهندسي بدلًا من التوزيع ذي الحدين؟ استخدم التوزيع فوق الهندسي عند السحب دون إرجاع من مجتمع محدود صغير، واستخدم التوزيع ذي الحدين عندما تكون عمليات السحب مستقلة أو يكون المجتمع لا نهائيًا فعليًا.

ماذا يعني \(P(X \ge k)\)؟ هو احتمال الحصول على \(k\) نجاحًا على الأقل — وهو مفيد في اختبارات الطرف مثل معاينة القبول في مراقبة الجودة.

هل يمكن أن يكون \(k\) أكبر من \(K\) أو \(n\)؟ إذا تجاوز \(k\) أصغر القيمتين \(K\) و \(n\)، فإن الاحتمال يساوي 0 لأن مثل هذه النتيجة مستحيلة.