हाइपरज्योमेट्रिक प्रायिकता कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

जनसंख्या का आकार (N)

जनसंख्या में सफलताएँ (K)

नमूने का आकार (n)

देखी गई सफलताएँ (k)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Cumulative Probabilities

   

   P(X <= k) and P(X >= k) summed over the support of the hypergeometric distribution

2. Mean and Variance

   

   Expected value and variance of the hypergeometric distribution

परिणाम

P(X = k)

0.20984

ठीक k सफलताओं की सटीक प्रायिकता

P(X ≤ k)	0.95174
P(X ≥ k)	0.2581
माध्य (अपेक्षित सफलताएँ)	1
प्रसरण	0.7347

हाइपरज्योमेट्रिक वितरण क्या है?

हाइपरज्योमेट्रिक वितरण यह बताता है कि किसी N आकार की सीमित जनसंख्या (जिसमें कुल K सफलताएँ हों) में से बिना प्रतिस्थापन n बार चुनाव करने पर ठीक k सफलताएँ मिलने की प्रायिकता कितनी है। द्विपद वितरण (binomial) के विपरीत — जो प्रतिस्थापन और स्थिर प्रायिकता मानता है — हाइपरज्योमेट्रिक इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि हर बार चुनाव करने पर बची हुई जनसंख्या की संरचना बदल जाती है।

बिना प्रतिस्थापन के नमूना लेना: K सफलताओं वाली N की जनसंख्या से n वस्तुएँ निकालना।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चार पूर्ण संख्याएँ दर्ज करें: जनसंख्या का आकार N, जनसंख्या में सफलताओं की संख्या K, नमूने का आकार n, और देखी गई सफलताओं की संख्या k। कैलकुलेटर सटीक प्रायिकता \(P(X=k)\), संचयी प्रायिकताएँ \(P(X\le k)\) व \(P(X\ge k)\), तथा वितरण का माध्य और प्रसरण लौटाता है।

सूत्र की व्याख्या

\(P(X=k)\) का मान निकालने के लिए — K में से k सफलताएँ चुनने के तरीकों को, N−K असफलताओं में से बचे हुए n−k आइटम चुनने के तरीकों से गुणा करें, और इसे N में से n आइटम चुनने के कुल तरीकों से भाग दें।

$$P(X = \text{k}) = \dfrac{\dbinom{\text{K}}{\text{k}}\dbinom{\text{N}-\text{K}}{\text{n}-\text{k}}}{\dbinom{\text{N}}{\text{n}}}$$

माध्य \(\mu = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\) होता है और प्रसरण \(\sigma^{2} = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{n}}{\text{N}-1}\) होता है, जहाँ अंतिम गुणक सीमित जनसंख्या संशोधन (finite population correction) है।

$$\begin{gathered} \mu = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}} \\[1em] \sigma^{2} = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{n}}{\text{N}-1} \end{gathered}$$

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हाइपरज्यामितीय PMF: नमूने में ठीक k सफलताओं की प्रायिकता।

हल किया हुआ उदाहरण

एक मानक 52-कार्ड वाली गड्डी में K=4 इक्के होते हैं। इसमें से n=5 कार्ड निकालिए। ठीक k=2 इक्के मिलने की प्रायिकता $$\dfrac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \dfrac{6\cdot 17296}{2598960} \approx 0.039929$$ है। इक्कों की अपेक्षित संख्या \(5\cdot 4/52 \approx 0.3846\) है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

द्विपद की जगह हाइपरज्योमेट्रिक का उपयोग कब करें? जब किसी छोटी, सीमित जनसंख्या से बिना प्रतिस्थापन नमूना लिया जाए तब हाइपरज्योमेट्रिक का उपयोग करें; जब चुनाव स्वतंत्र हों या जनसंख्या व्यावहारिक रूप से अनंत हो तब द्विपद (binomial) का उपयोग करें।

\(P(X\ge k)\) का क्या अर्थ है? यह कम-से-कम k सफलताएँ मिलने की प्रायिकता है — जो गुणवत्ता-नियंत्रण में स्वीकृति-नमूनाकरण जैसे टेल टेस्ट के लिए उपयोगी होती है।

क्या k, K या n से बड़ा हो सकता है? यदि k, K और n में से छोटी संख्या से भी बड़ा हो, तो प्रायिकता 0 होती है, क्योंकि ऐसा परिणाम असंभव है।