Калькулятор гипергеометрической вероятности

Введите расчет

Объём совокупности (N)

Число успехов в совокупности (K)

Размер выборки (n)

Наблюдаемые успехи (k)

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Cumulative Probabilities

   

   P(X <= k) and P(X >= k) summed over the support of the hypergeometric distribution

2. Mean and Variance

   

   Expected value and variance of the hypergeometric distribution

Результатов

P(X = k)

0,20984

точная вероятность k успехов

P(X ≤ k)	0,95174
P(X ≥ k)	0,2581
Среднее (ожидаемое число успехов)	1
Дисперсия	0,7347

Что такое гипергеометрическое распределение?

Гипергеометрическое распределение показывает вероятность извлечь ровно k «успехов» за n извлечений, выполняемых без возвращения из конечной совокупности объёма N, в которой всего содержится K успехов. В отличие от биномиального распределения (где предполагается возвращение и постоянная вероятность), гипергеометрическое учитывает, что каждое извлечение меняет состав оставшейся совокупности.

Выборка без возвращения: извлечение n элементов из совокупности из N с K успехами.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре целых числа: объём совокупности N, число успехов в совокупности K, размер выборки n и число наблюдаемых успехов k. Калькулятор выдаст точную вероятность \(P(X=k)\), кумулятивные вероятности \(P(X \le k)\) и \(P(X \ge k)\), а также среднее и дисперсию распределения.

Разбор формулы

\(P(X=k)\) равна числу способов выбрать k успехов из K, умноженному на число способов выбрать оставшиеся n−k объектов из N−K неудач, и поделённому на общее число способов выбрать n объектов из N.

$$P(X = \text{k}) = \dfrac{\dbinom{\text{K}}{\text{k}}\dbinom{\text{N}-\text{K}}{\text{n}-\text{k}}}{\dbinom{\text{N}}{\text{n}}}$$

Среднее равно \(\mu = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\), а дисперсия — \(\sigma^{2} = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{n}}{\text{N}-1}\), где последний множитель — это поправка на конечность совокупности.

$$\begin{gathered} \mu = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}} \\[1em] \sigma^{2} = \text{n}\,\dfrac{\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{K}}{\text{N}}\,\dfrac{\text{N}-\text{n}}{\text{N}-1} \end{gathered}$$

Реклама

Гипергеометрическая ФВ: вероятность ровно k успехов в выборке.

Пример с разбором

В стандартной колоде из 52 карт содержится K=4 туза. Вытягиваем n=5 карт. Вероятность получить ровно k=2 туза равна $$\frac{C(4,2)\cdot C(48,3)}{C(52,5)} = \frac{6\cdot 17296}{2598960} \approx 0{,}039929.$$ Ожидаемое число тузов составляет \(5\cdot 4/52 \approx 0{,}3846\).

Частые вопросы

Когда применять гипергеометрическое распределение вместо биномиального? Используйте гипергеометрическое при выборке без возвращения из небольшой конечной совокупности; биномиальное подойдёт, когда извлечения независимы или совокупность фактически бесконечна.

Что означает \(P(X \ge k)\)? Это вероятность получить не менее k успехов — она полезна для проверок «в хвосте» распределения, например при приёмочном контроле качества.

Может ли k быть больше K или n? Если k превышает меньшее из чисел K и n, вероятность равна 0, поскольку такой исход невозможен.