ما هي حاسبة المسافة ثنائية الأبعاد؟
تحسب حاسبة المسافة ثنائية الأبعاد المسافة المستقيمة (الإقليدية) بين نقطتين على مستوى إحداثي مستوٍ. فبمجرد إدخال إحداثيات النقطة الأولى (س₁، ص₁) والنقطة الثانية (س₂، ص₂)، تعطيك الحاسبة أقصر مسافة تفصل بينهما، أي طول القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين. وتعمل هذه الحاسبة مع أي وحدة قياس (بكسل، أمتار، أميال) ما دامت النقطتان تستخدمان المقياس نفسه.
كيفية الاستخدام
أدخل الإحداثيين السيني والصادي لكل نقطة من النقطتين. ويمكن أن تكون الإحداثيات موجبة أو سالبة أو عشرية. اضغط على زر الحساب لتعرض لك الأداة المسافة إلى جانب الفرق الأفقي (Δس) والفرق الرأسي (Δص) اللذين يشكّلان المثلث القائم الكامن وراء النتيجة.
شرح الصيغة
صيغة المسافة هي تطبيق مباشر لنظرية فيثاغورس. فالضلع الأفقي للمثلث هو \(\Delta س = س_2 - س_1\)، والضلع الرأسي هو \(\Delta ص = ص_2 - ص_1\)، أما المسافة فهي الوتر:
$$d = \sqrt{(س_2 - س_1)^2 + (ص_2 - ص_1)^2}$$
عملية التربيع تلغي إشارة كل فرق، ولذلك فإن ترتيب إدخال النقطتين لا يغيّر النتيجة.
مثال محلول
لنأخذ النقطة الأولى عند (0، 0) والنقطة الثانية عند (3، 4). عندئذٍ يكون \(\Delta س = 3 - 0 = 3\) و \(\Delta ص = 4 - 0 = 4\). وتكون المسافة $$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ وحدات، وهو المثلث القائم الشهير ذو الأبعاد 3-4-5.
أمثلة عملية أكثر
كل مثال يستخدم صيغة المسافة ثنائية الأبعاد \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). عوّض الإحداثيات، بسّط الفروقات، ربعها، أضفها، ثم خذ الجذر التربيعي.
المثال 1 — إحداثيات سالبة: (−2, 3) إلى (4, −1)
- ابحث عن الفروقات: \(\Delta x = 4 - (-2) = 6\), \(\Delta y = -1 - 3 = -4\).
- ربعها: \(6^2 = 36\), \((-4)^2 = 16\).
- أضف: \(36 + 16 = 52\).
- خذ الجذر: \(d = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx\) 7.2111.
لاحظ أن طرح إحداثي سالب يزيد الفجوة — خطوة التربيع تزيل الإشارة لذا لا يهم ترتيب النقاط.
المثال 2 — إحداثيات عشرية: (1.5, 2.0) إلى (4.5, 6.0)
- الفروقات: \(\Delta x = 4.5 - 1.5 = 3.0\), \(\Delta y = 6.0 - 2.0 = 4.0\).
- المربعات: \(3.0^2 = 9\), \(4.0^2 = 16\).
- المجموع والجذر: \(d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} =\) 5.
هذا مثلث قائم الزاوية بنسب 3-4-5، لذا المسافة تساوي 5 بالضبط حتى مع المدخلات العشرية.
المثال 3 — نقاط على نفس المحور (خط عمودي): (3, 1) إلى (3, 8)
- الفروقات: \(\Delta x = 3 - 3 = 0\), \(\Delta y = 8 - 1 = 7\).
- نظراً لأن \(\Delta x = 0\)، تُختزل الصيغة إلى \(d = \sqrt{0 + 7^2} = |\Delta y|\).
- النتيجة: \(d =\) 7.
عندما تتشارك نقطتان إحداثي x، القطعة تكون عمودية والمسافة ببساطة هي الفرق المطلق لقيم y؛ وبالمثل، إحداثيات y المشتركة تعطي مسافة أفقية تساوي \(|\Delta x|\).
التعريفات والمسرد
- المسافة الإقليدية
- المسافة بخط مستقيم العادية بين نقطتين، تُقاس "كما يحلّق الغراب." على مستوى ثنائي الأبعاد يتم حسابها بـ \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) وهي دائماً قيمة غير سالبة.
- الإحداثي (x, y)
- زوج مرتّب يحدد موقع نقطة على المستوى: \(x\) هو الموضع الأفقي (يُقاس على محور x) و \(y\) هو الموضع العمودي (يُقاس على محور y)، كلاهما نسبة إلى الأصل (0, 0).
- Δx (دلتا x)
- التغيير الأفقي بين النقطتين، \(\Delta x = x_2 - x_1\). يمكن أن يكون موجباً أو سالباً أو صفراً؛ فقط مربعه يُستخدم في صيغة المسافة.
- Δy (دلتا y)
- التغيير العمودي بين النقطتين، \(\Delta y = y_2 - y_1\). مثل \(\Delta x\)، إشارته غير ذات صلة بمجرد تربيعها.
- الوتر
- أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية، مقابل للزاوية القائمة. المسافة \(d\) هي وتر مثلث قائم الزاوية أضلاعه \(|\Delta x|\) و \(|\Delta y|\).
- نظرية فيثاغورس
- العلاقة \(a^2 + b^2 = c^2\) لمثلث قائم الزاوية بأضلاع \(a, b\) ووتر \(c\). صيغة المسافة ثنائية الأبعاد هي تطبيق مباشر، حيث \(a = \Delta x\), \(b = \Delta y\), و \(c = d\).
المسافة عبر أزواج النقاط النموذجية
كل صف يعرض النقطتين، التغييرات الأفقية والعمودية، والمسافة بخط مستقيم الناتجة. عدة صفوف تمثل نسب مثلثات قائمة كلاسيكية تعطي مسافات بأرقام صحيحة.
| (x₁, y₁) | (x₂, y₂) | Δx | Δy | المسافة d | ملاحظة |
|---|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 | مثلث 3-4-5 |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 | مثلث 5-12-13 |
| (1, 1) | (9, 1) | 8 | 0 | 8 | أفقي (y مشترك) |
| (2, 2) | (2, 9) | 0 | 7 | 7 | عمودي (x مشترك) |
| (−2, 3) | (4, −1) | 6 | −4 | ≈ 7.2111 | إحداثيات سالبة |
| (1.5, 2) | (4.5, 6) | 3 | 4 | 5 | عشري، 3-4-5 مقسّم |
| (0, 0) | (1, 1) | 1 | 1 | ≈ 1.4142 | قطر الوحدة (\(\sqrt{2}\)) |
| (0, 0) | (8, 15) | 8 | 15 | 17 | مثلث 8-15-17 |
الأسئلة الشائعة
هل يؤثر ترتيب النقطتين في النتيجة؟ لا. فلأن الفروق تُربَّع، فإن تبديل النقطتين يعطي المسافة نفسها.
هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة؟ نعم. القيم السالبة مدعومة بالكامل، والصيغة تتعامل معها بشكل صحيح.
ما الوحدة التي تظهر بها النتيجة؟ الوحدة نفسها التي تستخدمها إحداثياتك. فإذا كانت نقاطك بالأمتار، فستكون المسافة بالأمتار.
