ما هو مثلث AAS؟
مثلث AAS (زاوية-زاوية-ضلع) هو المثلث الذي تعرف فيه زاويتين من زواياه وطول ضلع لا يقع بين هاتين الزاويتين. وبما أن مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي دائمًا 180°، فإن معرفة زاويتين تعطيك الزاوية الثالثة على الفور. ومن هنا يتيح لك قانون الجيب إيجاد بقية الأضلاع، فيصبح المثلث محددًا بالكامل.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الزاوية A والزاوية B بالدرجات، وطول الضلع b — وهو الضلع المقابل للزاوية B. تعيد الحاسبة الزاوية الثالثة C، والضلعين المجهولين a و c، إضافة إلى المحيط والمساحة. تأكد من أن مجموع زاويتيك أقل من 180°، وإلا فلن يوجد مثلث صحيح.
شرح القانون
أولًا، نوجد الزاوية المجهولة: $$C = 180^\circ - A - B$$ ثم نطبق قانون الجيب الذي ينص على أن نسبة كل ضلع إلى جيب الزاوية المقابلة له ثابتة لجميع الأضلاع الثلاثة. وبإعادة الترتيب نحصل على $$a = \frac{b\,\sin A}{\sin B}$$ و $$c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$ أما المساحة فتُحسب بالعلاقة \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C\).
مثال محلول
لنفترض أن \(A = 40^\circ\) و \(B = 60^\circ\) والضلع \(b = 10\). إذًا \(C = 180 - 40 - 60 = 80^\circ\). وباستخدام قانون الجيب: $$a = \frac{10\cdot\sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0.6428}{0.8660} \approx 7.422$$ $$c = \frac{10\cdot\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0.9848}{0.8660} \approx 11.372$$ ويكون المحيط نحو \(28.79\)، والمساحة \(\tfrac{1}{2}\cdot 7.422\cdot 10\cdot \sin 80^\circ \approx 36.55\).
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
- AAS (الزاوية-الزاوية-الضلع)
- حالة مثلث يكون فيها معروفان زاويتان وضلع غير محصور (ضلع لا يقع بين الزاويتين المعطاتين). AAS يحدد دائماً مثلثاً فريداً واحداً.
- ASA (الزاوية-الضلع-الزاوية)
- حالة مرتبطة يكون فيها الضلع المعروف بين الزاويتين المعروفتين. ASA و AAS يستخدمان قانون الجيب نفسه لكن يختلفان في الضلع المُعطى.
- الزاوية A و B و C
- الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث. إنها دائماً تجمع إلى \(180^\circ\)، وهذا هو السبب في أن \(C = 180^\circ - A - B\).
- الضلع a و b و c
- أطوال الأضلاع، كل منها يُسمى بما يطابق الزاوية المقابلة له: الضلع \(a\) مقابل الزاوية \(A\)، والضلع \(b\) مقابل \(B\)، والضلع \(c\) مقابل \(C\). هذا الاقتران هو ما يجعل قانون الجيب يعمل.
- زاوية الرأس مقابل الضلع
- زاوية الرأس هي الزاوية المتكونة عند الزاوية حيث يلتقي ضلعان؛ الضلع هو القطعة المستقيمة التي تصل بين رأسين. في AAS تُعطى زاويتا رأس واحدتان وضلع واحد.
- قانون الجيب
- العلاقة \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\). إنها تتيح لك إيجاد ضلع مجهول من ضلع معروف والزوايا المقابلة لكليهما.
- الضلع المحصور مقابل غير المحصور
- الضلع المحصور يقع بين زاويتين معطاتين (كما في ASA)؛ الضلع غير المحصور لا يقع بينهما (كما في AAS، حيث الضلع المعطى مقابل إحدى الزاويتين).
- المحيط
- المسافة الكلية حول المثلث، \(P = a + b + c\).
- المساحة
- المنطقة المحاطة بالمثلث. مع ضلعين والزاوية المحصورة بينهما تكون \(\text{المساحة} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\)؛ أي زوج من الأضلاع والزاوية بينهما يعطي القيمة نفسها.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين AAS و ASA؟ في حالة ASA يقع الضلع المعلوم بين الزاويتين المعلومتين، أما في AAS فيكون الضلع المعلوم مقابلًا لإحداهما. وكلتا الحالتين قابلتان للحل بشكل وحيد باستخدام قانون الجيب.
لماذا يجب أن يكون مجموع الزاويتين أقل من 180°؟ لأن مجموع زوايا المثلث يجب أن يساوي 180° بالضبط، فإذا بلغ مجموع زاويتين 180° أو أكثر فلن يبقى مجال لزاوية ثالثة موجبة.
هل يمكنني إدخال الضلع بأي وحدة؟ نعم. تأتي الأضلاع الناتجة بالوحدة نفسها التي تستخدمها للضلع b، وتكون المساحة بمربع تلك الوحدة.
