什麼是 AAS 三角形？
AAS（Angle-Angle-Side，角角邊）三角形指的是：你已知其中兩個角，以及一條不在這兩個角之間的邊長。由於任何三角形的三個內角總和必為 180°，只要知道兩個角，馬上就能算出第三個角。接著再運用正弦定理，就能求出其餘各邊，因此整個三角形可以被完全確定。
如何使用本計算器
請以「度」為單位輸入角 A 與角 B，並填入邊 b 的長度——也就是角 B 的對邊。計算器會回傳第三個角 C、兩條未知邊 a 與 c、周長以及面積。請務必確認兩個角的總和小於 180°，否則就不存在有效的三角形。
公式說明
首先求出未知角：$$C = 180^\circ - A - B$$接著套用正弦定理——它指出每一條邊與其對角正弦值的比值，對三條邊而言都相等。整理後可得 $$a = \frac{b\,\sin A}{\sin B}$$ 與 $$c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$。面積則以 \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C\) 計算。
範例解析
假設 A = 40°、B = 60°，邊 b = 10。則 \(C = 180 - 40 - 60 = 80^\circ\)。運用正弦定理，可得 $$a = \frac{10\cdot\sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0.6428}{0.8660} \approx 7.422$$ $$c = \frac{10\cdot\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0.9848}{0.8660} \approx 11.372$$ 周長約為 28.79，面積為 \(\tfrac{1}{2}\cdot 7.422\cdot 10\cdot\sin 80^\circ \approx 36.55\)。
關鍵術語與變數
- AAS (角-角-邊)
- 一個三角形情況，其中已知兩個角和一個非夾邊（不在兩個已知角之間的邊）。AAS 總是確定一個唯一的三角形。
- ASA (角-邊-角)
- 一個相關情況，其中已知的邊在兩個已知角之間。ASA 和 AAS 使用相同的正弦定律，但提供的邊不同。
- 角 A、B、C
- 三角形的三個內角。它們的和始終為 \(180^\circ\)，這就是為什麼 \(C = 180^\circ - A - B\)。
- 邊 a、b、c
- 邊的長度，每條邊都標記為與其對面的角相符：邊 \(a\) 對面是角 \(A\)，邊 \(b\) 對面是角 \(B\)，邊 \(c\) 對面是角 \(C\)。這種配對是使正弦定律成立的原因。
- 頂點角與邊
- 一個頂點角是在兩條邊相交的角落處形成的角；一個邊是連接兩個頂點的直線段。在 AAS 中，你被給定兩個頂點角和一條邊。
- 正弦定律
- 關係式 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)。它讓你從已知邊和兩邊的對角找到未知邊。
- 夾邊與非夾邊
- 一個夾邊位於兩個已知角之間（如在 ASA 中）；一個非夾邊不位於兩個已知角之間（如在 AAS 中，已知邊與其中一個角相對）。
- 周長
- 三角形周圍的總距離，\(P = a + b + c\)。
- 面積
- 由三角形包圍的區域。有了兩條邊和它們之間的夾角，面積為 \(\text{面積} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\)；任何一對邊和它們之間的角都會給出相同的值。
常見問題
AAS 與 ASA 有什麼差別？在 ASA 中，已知的邊夾在兩個已知角之間；而在 AAS 中，已知的邊則是其中一個角的對邊。兩者都能利用正弦定理求得唯一解。
為什麼兩角總和必須小於 180°？三角形三個角的總和必須剛好等於 180°，因此若兩個角加起來已達到或超過 180°，就沒有空間留給第三個正值角。
邊長可以用任何單位嗎？可以。計算出的各邊會沿用你為邊 b 所採用的單位；面積則是該單位的平方。
