AAS三角形とは？
AAS三角形（角・角・辺）とは、2つの角と、その2つの角の間にはない辺の長さがわかっている三角形のことです。どんな三角形でも内角の和は必ず180°になるため、2つの角がわかれば残りの角はすぐに求められます。あとは正弦定理を使えば残りの辺もすべて計算でき、三角形の形が一通りに決まります。
この計算ツールの使い方
角Aと角Bを「度」で入力し、角Bの向かいにある辺bの長さを入力してください。すると、3つ目の角C、未知の2辺aとc、周の長さ、そして面積が表示されます。入力した2つの角の合計が180°未満になっているか必ず確認しましょう。180°以上だと、成立する三角形が存在しません。
計算式の解説
まずわからない角を求めます。$$C = 180^\circ - A - B$$ です。次に正弦定理を使います。正弦定理とは、各辺の長さと、その向かいの角のサインの比が、3辺すべてで等しくなるという法則です。式を変形すると $$a = \frac{b\,\sin A}{\sin B}, \quad c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$ となります。面積は \(\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C\) で求められます。
計算例
A = 40°、B = 60°、辺b = 10 のときを考えてみましょう。まず \(C = 180 - 40 - 60 = 80^\circ\) です。正弦定理より、$$a = \frac{10\cdot\sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0.6428}{0.8660} \approx 7.422$$ $$c = \frac{10\cdot\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0.9848}{0.8660} \approx 11.372$$ となります。周の長さは約28.79、面積は \(\frac{1}{2}\cdot 7.422\cdot 10\cdot\sin 80^\circ \approx 36.55\) です。
重要な用語と変数
- AAS（角-角-辺）
- 2つの角と、それに隣接しない辺（与えられた2つの角の間にはない辺）が既知である三角形の場合。AASは常に唯一の三角形を決定します。
- ASA（角-辺-角）
- 既知の辺が2つの既知の角の間にある関連ケース。ASAとAASは同じ正弦法則を使用しますが、どの辺が与えられるかが異なります。
- 角A、B、C
- 三角形の3つの内角。これらは常に\(180^\circ\)に合計され、その理由は\(C = 180^\circ - A - B\)です。
- 辺a、b、c
- 辺の長さで、各辺は対応する角とラベル付けされます：辺\(a\)は角\(A\)の対辺、辺\(b\)は角\(B\)の対辺、辺\(c\)は角\(C\)の対辺です。このペアリングが正弦法則を機能させるものです。
- 頂点角と辺
- 頂点角は2つの辺が出会う角のことであり、辺は2つの頂点を結ぶ直線区分です。AASでは、2つの頂点角と1つの辺が与えられます。
- 正弦法則
- 関係\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)。これにより、既知の辺と両方の対角から未知の辺を見つけることができます。
- 隣接辺と非隣接辺
- 隣接辺は2つの与えられた角の間にある辺（ASAのように）；非隣接辺はそうではない辺（AASのように、与えられた辺は一方の角の対辺）です。
- 周囲
- 三角形の周りの総距離。\(P = a + b + c\)です。
- 面積
- 三角形に囲まれた領域。2つの辺とそれらの隣接角がある場合、\(\text{面積} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\)です。どの辺のペアとそれらの間の角でも同じ値が得られます。
よくある質問
AASとASAの違いは？ ASAでは、わかっている辺が2つの角の「間」にあります。一方AASでは、わかっている辺がどちらか一方の角の「向かい」にあります。どちらも正弦定理を使って一通りに解くことができます。
なぜ角の合計が180°未満でなければならないの？ 三角形の3つの角の合計はちょうど180°になります。そのため、2つの角だけですでに180°以上になってしまうと、3つ目の角（正の値）が入る余地がなくなってしまうからです。
辺の長さはどんな単位で入力してもいい？ はい。求められた辺は、辺bに使った単位と同じ単位になります。面積はその単位の2乗（平方単位）で表されます。
