AAS 삼각형이란?
AAS(각-각-변) 삼각형은 두 각과, 그 두 각 사이에 끼지 않은 한 변의 길이를 알고 있는 삼각형입니다. 모든 삼각형의 내각의 합은 항상 180°이므로, 두 각을 알면 나머지 한 각은 바로 구할 수 있습니다. 그다음 사인 법칙을 적용하면 남은 두 변도 모두 계산할 수 있어, 삼각형의 모양이 완전히 결정됩니다.
계산기 사용 방법
각 A와 각 B를 각도(도) 단위로 입력하고, 각 B의 대변인 변 b의 길이를 입력하세요. 계산기는 나머지 각 C, 미지의 두 변 a와 c, 둘레, 그리고 넓이를 알려줍니다. 두 각의 합이 반드시 180°보다 작아야 하며, 그렇지 않으면 삼각형이 성립하지 않습니다.
공식 풀이
먼저 나머지 각을 구합니다: \(C = 180^\circ - A - B\). 이어서 사인 법칙을 적용하는데, 사인 법칙이란 각 변의 길이를 그 대각의 사인 값으로 나눈 비가 세 변 모두 같다는 원리입니다. 이를 정리하면 \(a = \frac{b\,\sin A}{\sin B}\), \(c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}\)가 됩니다. 넓이는 \(\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C\)로 계산합니다.
$$C = 180^\circ - A - B,\quad a = \frac{b\,\sin A}{\sin B},\quad c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$
예제 풀이
A = 40°, B = 60°, 변 b = 10이라고 해봅시다. 그러면 \(C = 180 - 40 - 60 = 80^\circ\)입니다. 사인 법칙을 적용하면 \(a = 10\cdot\sin 40^\circ/\sin 60^\circ \approx 10\cdot 0.6428/0.8660 \approx 7.422\), \(c = 10\cdot\sin 80^\circ/\sin 60^\circ \approx 10\cdot 0.9848/0.8660 \approx 11.372\)이 됩니다. 둘레는 약 28.79이고, 넓이는 \(\frac{1}{2}\cdot 7.422\cdot 10\cdot\sin 80^\circ \approx 36.55\)입니다.
주요 용어 및 변수
- AAS (각-각-변)
- 두 개의 각과 포함되지 않은 변(주어진 두 각 사이에 있지 않은 변)이 알려진 삼각형의 경우. AAS는 항상 유일한 삼각형을 결정합니다.
- ASA (각-변-각)
- 알려진 변이 두 알려진 각 사이에 있는 관련 경우. ASA와 AAS는 같은 사인 법칙을 사용하지만 어느 변이 주어지는지에 따라 다릅니다.
- 각 A, B, C
- 삼각형의 세 내각. 이들은 항상 \(180^\circ\)로 합산되며, 이것이 \(C = 180^\circ - A - B\)인 이유입니다.
- 변 a, b, c
- 변의 길이로, 각각 대응하는 각과 일치하도록 표시됩니다: 변 \(a\)는 각 \(A\)의 대변, 변 \(b\)는 \(B\)의 대변, 변 \(c\)는 \(C\)의 대변입니다. 이러한 쌍이 사인 법칙이 작동하는 이유입니다.
- 꼭짓점 각 vs. 변
- 꼭짓점 각은 두 변이 만나는 모서리에서 형성되는 각입니다. 변은 두 꼭짓점을 잇는 직선 선분입니다. AAS에서는 두 개의 꼭짓점 각과 한 개의 변이 주어집니다.
- 사인 법칙
- 관계식 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\). 이를 통해 알려진 변과 두 변에 대응하는 각들로부터 미지수 변을 찾을 수 있습니다.
- 포함된 변 vs. 포함되지 않은 변
- 포함된 변은 두 주어진 각 사이에 있습니다(ASA처럼); 포함되지 않은 변은 그렇지 않습니다(AAS처럼, 주어진 변이 각 중 하나의 대변인 경우).
- 둘레
- 삼각형 주위의 총 거리, \(P = a + b + c\).
- 넓이
- 삼각형으로 둘러싸인 영역. 두 변과 그들의 포함된 각으로는 \(\text{넓이} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\)이며, 임의의 변의 쌍과 그들 사이의 각은 동일한 값을 제공합니다.
자주 묻는 질문
AAS와 ASA의 차이는 무엇인가요? ASA에서는 알고 있는 변이 두 각 사이에 끼어 있고, AAS에서는 알고 있는 변이 두 각 중 하나의 대변입니다. 두 경우 모두 사인 법칙으로 유일하게 풀 수 있습니다.
왜 두 각의 합이 180°보다 작아야 하나요? 삼각형 세 각의 합은 정확히 180°가 되어야 합니다. 두 각의 합이 이미 180° 이상이면 양수인 세 번째 각이 들어갈 자리가 없기 때문입니다.
변의 단위는 아무거나 써도 되나요? 네, 됩니다. 결과로 나오는 변들은 변 b에 사용한 단위를 그대로 따르며, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.
