AAS üçgeni nedir?
AAS (Açı-Açı-Kenar) üçgeni, iki açısını ve bu iki açının arasında yer almayan bir kenarının uzunluğunu bildiğiniz üçgendir. Bir üçgenin iç açıları her zaman 180°'ye tamamlandığından, iki açıyı bilmek üçüncü açıyı anında verir. Buradan itibaren sinüs teoremi sayesinde kalan tüm kenarları bulabilirsiniz; böylece üçgen tamamen belirlenmiş olur.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
A açısı ile B açısını derece cinsinden, ardından B açısının karşısındaki kenar olan b kenarının uzunluğunu girin. Hesaplayıcı size üçüncü açı olan C'yi, bilinmeyen a ve c kenarlarını, çevreyi ve alanı verir. İki açının toplamının 180°'den küçük olduğundan emin olun; aksi halde geçerli bir üçgen oluşmaz.
Formülün açıklaması
Önce eksik açıyı bulun: $$C = 180^\circ - A - B$$ Ardından sinüs teoremini uygulayın; bu teoreme göre her kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı üç kenar için de aynıdır. Buradan düzenlenerek $$a = \frac{b\,\sin A}{\sin B}$$ ve $$c = \frac{b\,\sin C}{\sin B}$$ elde edilir. Alan ise \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C\) formülüyle hesaplanır.
Çözümlü örnek
Diyelim ki \(A = 40^\circ\), \(B = 60^\circ\) ve b kenarı = 10. Bu durumda $$C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$$ olur. Sinüs teoremini kullanarak $$a = \frac{10\cdot\sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}6428}{0{,}8660} \approx 7{,}422$$ ve $$c = \frac{10\cdot\sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10\cdot 0{,}9848}{0{,}8660} \approx 11{,}372$$ bulunur. Çevre yaklaşık 28,79; alan ise \(\tfrac{1}{2}\cdot 7{,}422\cdot 10\cdot\sin 80^\circ \approx 36{,}55\)'tir.
Önemli Terimler ve Değişkenler
- AAS (Açı-Açı-Kenar)
- İki açı ve bu iki açının arasında olmayan bir kenarın (dahil olmayan kenar) bilindiği bir üçgen durumu. AAS her zaman tek bir üçgeni belirler.
- ASA (Açı-Kenar-Açı)
- Bilinen kenarın iki bilinen açının arasında olduğu ilişkili bir durum. ASA ve AAS aynı sinüs yasasını kullanır ancak hangi kenarın verildiği açısından farklılık gösterir.
- Açı A, B, C
- Üçgenin üç iç açısı. Bunlar her zaman \(180^\circ\) toplamına sahip olur, bu nedenle \(C = 180^\circ - A - B\) dir.
- Kenar a, b, c
- Kenar uzunlukları, her biri karşısındaki açıyla eşleştirilecek şekilde etiketlenmiştir: kenar \(a\) açı \(A\)'nın karşısında, kenar \(b\) açı \(B\)'nin karşısında ve kenar \(c\) açı \(C\)'nin karşısındadır. Bu eşleştirme sinüs yasasının çalışmasını sağlayan şeydir.
- Köşe açısı vs. kenar
- Bir köşe açısı iki kenarın bir köşede buluştuğu yerde oluşan açıdır; bir kenar iki köşeyi birleştiren düz bir doğru parçasıdır. AAS'de size iki köşe açısı ve bir kenar verilir.
- Sinüs yasası
- İlişki \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\). Bilinen bir kenardan ve her ikisinin de karşısındaki açılardan bilinmeyen bir kenarı bulmanızı sağlar.
- Dahil kenar vs. dahil olmayan kenar
- Bir dahil kenar iki verilen açının arasında yer alır (ASA'da olduğu gibi); bir dahil olmayan kenar yer almaz (AAS'de olduğu gibi, burada verilen kenar açılardan birinin karşısındadır).
- Çevre
- Üçgenin etrafındaki toplam mesafe, \(P = a + b + c\).
- Alan
- Üçgen tarafından çevrelenen bölge. İki kenar ve bunların dahil açısı ile alan \(\text{Alan} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C\) dir; herhangi iki kenar ve aralarındaki açı aynı değeri verir.
Sıkça sorulan sorular
AAS ile ASA arasındaki fark nedir? ASA'da bilinen kenar iki bilinen açının arasında yer alır; AAS'de ise bilinen kenar bu açılardan birinin karşısındadır. Her ikisi de sinüs teoremiyle tek bir şekilde çözülebilir.
Açıların toplamı neden 180°'den küçük olmalı? Bir üçgenin üç açısının toplamı tam olarak 180° olmak zorundadır; bu yüzden zaten 180° veya daha fazlaya ulaşan iki açı, pozitif bir üçüncü açıya yer bırakmaz.
Kenarı istediğim birimde girebilir miyim? Evet. Sonuç kenarları, b kenarı için kullandığınız birimin aynısını paylaşır; alan ise o birimin karesi cinsinden çıkar.
