Bretschneider Formülü Nedir?
Bretschneider formülü, ister dışbükey ister içbükey, ister çembersel (kirişler dörtgeni) ister değil, herhangi bir basit dörtgenin alanını dört kenar uzunluğundan ve bir çift karşılıklı iç açının toplamından bulmanızı sağlar. Bu formül, çembersel dörtgenler için kullanılan Brahmagupta formülünün ve üçgenler için bilinen Heron formülünün genelleştirilmiş hâlidir. Bu hesaplama aracı, seçtiğiniz herhangi bir uzunluk biriminde (m, cm, inç vb.) hem alan S hem de çevre L değerini verir; alan ise o birimin karesi cinsinden gösterilir.
Nasıl Kullanılır?
Dörtgenin etrafını izleyerek dört kenar uzunluğunu (a, b, c, d) sırayla girin. Ardından bir çift karşılıklı iç açının toplamını derece cinsinden yazın — bunlar birbirine komşu olmayan iki köşe açısıdır (a ile b kenarları arasındaki açı ve c ile d kenarları arasındaki açı). Dörtgen çembersel ise karşılıklı açılar bütünlerdir, yani toplamları 180 derece olur ve formül doğrudan Brahmagupta formülüne dönüşür.
Formülün Açıklaması
Yarı çevreyi \(s = (a + b + c + d) / 2\) ve karşılıklı açı çiftinin toplamını \(\theta\) olarak alalım. Bu durumda alan,
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$(s−a)(s−b)(s−c)(s−d) çarpımından abcd·cos²(theta/2) terimi çıkarıldıktan sonra elde edilen ifadenin kareköküdür. Açı, kosinüs alınmadan önce radyana çevrilir (\(\times \pi/180\)) ve karesi alınan kosinüsün içinde yarım açı olan \(\theta/2\) kullanılır. \(\theta = 180\) derece olduğunda \(\cos(90^\circ) = 0\) olur ve düzeltme terimi sıfırlanır.
Çözümlü Örnek
\(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\) ve \(\theta = 180\) derece alalım. Yarı çevre \(s = 43/2 = 21{,}5\) olur; buradan \(s-a = 8{,}5\), \(s-b = 7{,}5\), \(s-c = 18{,}5\) ve \(s-d = 8{,}5\) bulunur. Bunların çarpımı \(10024{,}6875\)'tir. \(\cos(90^\circ) = 0\) olduğundan düzeltme terimi sıfır kalır; dolayısıyla \(S = \sqrt{10024{,}6875} \approx 100{,}123\) birim kare ve çevre \(L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43\) birim olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Neden "geçersiz dörtgen" uyarısı alıyorum? Her kenar pozitif olmalı ve diğer üç kenarın toplamından küçük olmalıdır; aksi takdirde şekil kapanamaz. Bu uyarı, kökün içindeki ifade negatife düştüğünde de görünür ki bu, kenar uzunlukları ile açının birbiriyle tutarsız olduğu anlamına gelir.
Kenarlar için belirli bir birim gerekiyor mu? Hayır. Tek bir uzunluk birimini tutarlı şekilde kullanmanız yeterli; alan o birimin karesi, çevre ise aynı birim cinsinden çıkar.
Sadece köşegenleri biliyorsam ne yapmalıyım? Bu araç kenarları ve karşılıklı açıların toplamını ister. Çembersel bir dörtgen için Brahmagupta formülünü uygulamak adına \(\theta = 180\) değerini kullanabilirsiniz.
