ब्रेट्शनाइडर सूत्र क्या है?
ब्रेट्शनाइडर सूत्र किसी भी साधारण चतुर्भुज का क्षेत्रफल बताता है — चाहे वह उत्तल (convex) हो या न हो, चक्रीय (cyclic) हो या न हो। इसके लिए बस चार भुजाओं की लंबाई और एक जोड़ी सम्मुख आंतरिक कोणों का योग चाहिए। यह सूत्र ब्रह्मगुप्त सूत्र (चक्रीय चतुर्भुज के लिए) और हीरोन सूत्र (त्रिभुज के लिए) का सामान्यीकृत रूप है। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए किसी भी रैखिक मात्रक (m, cm, in आदि) में क्षेत्रफल S और परिमाप L — दोनों देता है; क्षेत्रफल उसी मात्रक के वर्ग में आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
चतुर्भुज के चारों ओर क्रम से चार भुजाओं की लंबाई \(a, b, c, d\) भरें। फिर एक जोड़ी सम्मुख आंतरिक कोणों का योग डिग्री में दर्ज करें — ये वे दो शीर्ष कोण हैं जो आपस में सटे हुए नहीं हैं (भुजा \(a\) और \(b\) के बीच का कोण, और भुजा \(c\) और \(d\) के बीच का कोण)। यदि चतुर्भुज चक्रीय है, तो सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, इसलिए उनका योग 180 डिग्री होता है और तब सूत्र सीधे ब्रह्मगुप्त सूत्र में बदल जाता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(s = \dfrac{a + b + c + d}{2}\) अर्ध-परिमाप है और \(\theta\) सम्मुख कोणों के जोड़े का योग है। तब क्षेत्रफल $$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\,\cos^{2}\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$ कोसाइन निकालने से पहले कोण को रेडियन में बदला जाता है (\(\times \pi/180\)), और वर्ग कोसाइन के अंदर आधा कोण \(\theta/2\) इस्तेमाल होता है। जब \(\theta = 180\) डिग्री होता है, तो \(\cos(90^\circ) = 0\) हो जाता है और सुधार वाला पद (correction term) शून्य हो जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\), \(\theta = 180\) डिग्री। अर्ध-परिमाप \(s = 43/2 = 21.5\) होगा, जिससे \(s-a = 8.5\), \(s-b = 7.5\), \(s-c = 18.5\), \(s-d = 8.5\) मिलते हैं। इनका गुणनफल \(10024.6875\) है। चूँकि \(\cos(90^\circ) = 0\) है, इसलिए सुधार वाला पद शून्य रहता है, अतः \(S = \sqrt{10024.6875} \approx 100.123\) वर्ग मात्रक, और परिमाप \(L = 13 + 14 + 3 + 13 = 43\) मात्रक।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
मुझे "अमान्य चतुर्भुज" का संदेश क्यों मिलता है? हर भुजा धनात्मक होनी चाहिए और बाकी तीन भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए; अन्यथा आकृति बंद ही नहीं हो सकती। यह संदेश तब भी आता है जब वर्गमूल के अंदर वाला मान (radicand) ऋणात्मक हो जाए, जिसका अर्थ है कि भुजाओं की लंबाई और कोण आपस में मेल नहीं खाते।
क्या भुजाओं के लिए कोई खास मात्रक ज़रूरी है? नहीं। आप किसी भी एक रैखिक मात्रक का लगातार उपयोग करें; क्षेत्रफल उसी मात्रक के वर्ग में और परिमाप उसी मात्रक में आएगा।
अगर मुझे सिर्फ विकर्ण (diagonals) पता हों तो? इस कैलकुलेटर को भुजाएँ और सम्मुख कोणों का योग चाहिए। चक्रीय चतुर्भुज के लिए आप बस \(\theta = 180\) लेकर ब्रह्मगुप्त सूत्र लागू कर सकते हैं।
