चक्रीय चतुर्भुज क्या होता है?
चक्रीय चतुर्भुज एक ऐसा चार भुजाओं वाला बहुभुज है जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं। समान चार भुजाओं वाले सभी चतुर्भुजों में चक्रीय चतुर्भुज ही सबसे अधिक क्षेत्रफल घेरता है। यह कैलकुलेटर भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके चार भुजाओं \(a\), \(b\), \(c\) और \(d\) से उसका क्षेत्रफल और परिमाप दोनों निकाल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
चारों भुजाओं की लंबाई किसी एक समान मात्रक (unit) में दर्ज करें — ध्यान रखें कि चारों एक ही मात्रक में हों। फिर "गणना करें" दबाएँ। क्षेत्रफल उसी मात्रक के वर्ग में और परिमाप मूल मात्रक में मिलेगा। यदि दी गई लंबाइयों से कोई वास्तविक चतुर्भुज नहीं बन सकता, तो टूल बता देगा कि ऐसी कोई आकृति संभव नहीं है।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले अर्धपरिमाप निकालें:
$$s = \frac{a + b + c + d}{2}$$फिर क्षेत्रफल होगा
$$S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}$$परिमाप तो सीधा है: \(L = a + b + c + d\)। आकृति के अस्तित्व के लिए ज़रूरी है कि प्रत्येक भुजा धनात्मक हो और बाकी तीन भुजाओं के योग से छोटी हो — यही शर्त सुनिश्चित करती है कि वर्गमूल के अंदर का हर गुणनखंड शून्य या उससे अधिक रहे।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 3\), \(d = 13\): तब
$$s = \frac{43}{2} = 21.5$$चारों गुणनखंड बनेंगे \(8.5\), \(7.5\), \(18.5\) और \(8.5\), जिनका गुणनफल \(10024.6875\) है। क्षेत्रफल \(\sqrt{10024.6875}\) यानी लगभग \(100.12\) होगा, और परिमाप \(43\) रहेगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह हर तरह के चतुर्भुज पर काम करता है? ब्रह्मगुप्त सूत्र पूरी तरह सटीक केवल चक्रीय चतुर्भुजों के लिए ही है; अन्य चतुर्भुजों के लिए यह उन्हीं भुजाओं से प्राप्त होने वाला अधिकतम क्षेत्रफल बताता है।
अगर एक भुजा बाकी तीन के योग के बराबर हो तो? ऐसी आकृति विकृत (एकदम चपटी) हो जाती है और उसका क्षेत्रफल शून्य होता है।
यह कौन-से मात्रक इस्तेमाल करता है? आप चाहें तो कोई भी समान लंबाई मात्रक चुन सकते हैं; क्षेत्रफल उसी मात्रक के वर्ग में निकलता है।
