यह कैलकुलेटर क्या करता है
दो सदिशों के बीच कोण कैलकुलेटर दो या तीन विमाओं (dimensions) में दो सदिशों के बीच बनने वाला कोण निकालता है। हर सदिश के X, Y और (वैकल्पिक रूप से) Z घटक दर्ज करें, और यह टूल कोण को डिग्री तथा रेडियन दोनों में बताता है, साथ ही डॉट प्रोडक्ट, प्रत्येक सदिश का परिमाण और कोण का कोसाइन भी देता है। यह अंतरिक्ष में किसी भी दिशा के लिए काम करता है और भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स तथा रैखिक बीजगणित (linear algebra) में व्यापक रूप से इस्तेमाल होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहली पंक्ति में सदिश A के घटक और दूसरी पंक्ति में सदिश B के घटक लिखें। 2D सदिशों के लिए Z वाले खाने खाली छोड़ दें या उन्हें 0 कर दें। कोण देखने के लिए calculate पर क्लिक करें। परिणाम हमेशा 0° और 180° के बीच होता है, क्योंकि डॉट-प्रोडक्ट अनुपात का प्रतिलोम कोसाइन (inverse cosine) हमेशा एक अऋणात्मक कोण देता है।
सूत्र की व्याख्या
दो सदिशों का डॉट प्रोडक्ट उनके परिमाणों के गुणनफल और उनके बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल के बराबर होता है: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert\cos\theta\)। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर मिलता है $$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert}\right)$$ डॉट प्रोडक्ट की गणना \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) के रूप में होती है, और प्रत्येक परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है। यदि किसी भी सदिश की लंबाई शून्य हो तो कोण अपरिभाषित रहता है, इसलिए कैलकुलेटर शून्य से भाग देने की स्थिति से बचाव करता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए A = (1, 0, 0) और B = (1, 1, 0)। डॉट प्रोडक्ट होगा \(1\times1 + 0\times1 + 0\times0 = 1\)। परिमाण हैं \(\lVert A\rVert = 1\) और \(\lVert B\rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142\)। तो \(\cos\theta = 1 / 1.4142 \approx 0.7071\), और \(\theta = \arccos(0.7071) = 45^\circ\) (लगभग 0.7854 रेडियन)।
अपने परिणाम की व्याख्या करना
इस कैलकुलेटर द्वारा लौटाया गया कोण \(\theta\) \(0^\circ\) से \(180^\circ\) (\(0\) से \(\pi\) रेडियन) तक होता है। क्योंकि परिमाण \(\lVert\vec{A}\rVert\) और \(\lVert\vec{B}\rVert\) हमेशा धनात्मक होते हैं, कोसाइन का चिन्ह डॉट उत्पाद के चिन्ह से मेल खाता है। यह एक तथ्य आपको ज्यामितीय संबंध एक नज़र में बताता है:
| कोण \(\theta\) | \(\cos\theta\) | डॉट उत्पाद \(\vec{A}\cdot\vec{B}\) | ज्यामितीय अर्थ |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(+1\) | धनात्मक (अधिकतम) | समान दिशा — सदिश समांतर हैं |
| \(0^\circ\)–\(90^\circ\) | \(0\) और \(+1\) के बीच | धनात्मक | न्यून कोण — सदिश एक ही सामान्य दिशा में इंगित करते हैं |
| \(90^\circ\) | \(0\) | शून्य | लंबकोणीय (लंबवत) |
| \(90^\circ\)–\(180^\circ\) | \(-1\) और \(0\) के बीच | ऋणात्मक | अधिक कोण — सदिश सामान्य दिशा में विरोध करते हैं |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | ऋणात्मक (न्यूनतम) | विपरीत दिशा — विपरीत-समांतर |
शीघ्र पठन नियम: एक धनात्मक डॉट उत्पाद का अर्थ है न्यून कोण, एक शून्य डॉट उत्पाद का अर्थ है समकोण, और एक ऋणात्मक डॉट उत्पाद का अर्थ है अधिक कोण। \(\cos\theta\) जितना \(\pm 1\) के करीब है, सदिश उतने ही एक ही रेखा के साथ स्थित होने के करीब हैं।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- सदिश
- एक ऐसी मात्रा जिसमें परिमाण और दिशा दोनों हों, जिसे घटकों की क्रमबद्ध सूची के रूप में लिखा जाता है जैसे \(\vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\)।
- सदिश घटक (x / y / z)
- किसी सदिश का समन्वय अक्ष पर प्रक्षेपण। \(A_x\), \(A_y\) और \(A_z\) क्रमशः x-, y- और z-अक्षों के साथ सदिश कितना विस्तारित होता है इसकी मात्रा हैं। 2D सदिश के लिए, \(A_z = 0\) सेट करें।
- डॉट उत्पाद (अदिश उत्पाद)
- दो सदिशों से बनी एक एकल संख्या: \(\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\)। यह \(\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\) के बराबर है, इसलिए इसका चिन्ह प्रकट करता है कि कोण न्यून, समकोण या अधिक है।
- परिमाण (मानदंड, लंबाई)
- किसी सदिश की लंबाई, \(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\)। यह हमेशा अऋणात्मक होता है।
- कोसाइन
- त्रिकोणमितीय अनुपात \(\cos\theta\) जो यहाँ सामान्यीकृत डॉट उत्पाद के बराबर है \(\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\)। यह \(-1\) (विपरीत) से \(0\) (लंबकोणीय) होकर \(+1\) (समान दिशा) तक होता है।
- आर्ककोस (व्युत्क्रम कोसाइन)
- फलन \(\arccos(x)\) जो अपने कोसाइन से कोण को पुनः प्राप्त करता है, \(0^\circ\) और \(180^\circ\) (\(0\) से \(\pi\) रेडियन) के बीच एक मान लौटाता है।
- लंबकोणीय / लंबवत
- \(90^\circ\) पर मिलने वाले सदिश। उनका डॉट उत्पाद बिल्कुल शून्य है।
- समांतर / विपरीत-समांतर
- समांतर सदिश समान दिशा में इंगित करते हैं (\(\theta = 0^\circ\), \(\cos\theta = +1\)); विपरीत-समांतर सदिश बिल्कुल विपरीत दिशा में इंगित करते हैं (\(\theta = 180^\circ\), \(\cos\theta = -1\))। दोनों स्थितियों में सदिश एक ही रेखा के साथ स्थित होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह 2D सदिशों के लिए काम करता है? हाँ — बस Z घटकों को खाली छोड़ दें या 0 कर दें।
कोण कभी 180° से अधिक क्यों नहीं होता? प्रतिलोम कोसाइन 0 से 180° तक के मान देता है, जो दिशा कोई भी हो, दोनों के बीच का सबसे छोटा कोण होता है।
90° का परिणाम क्या दर्शाता है? सदिश लंबवत (orthogonal) हैं, जो तब होता है जब डॉट प्रोडक्ट बिल्कुल शून्य हो।
