Ce que fait ce calculateur
Le calculateur d'angle entre deux vecteurs détermine l'angle qui sépare deux vecteurs dans le plan ou dans l'espace. Saisissez les composantes X, Y et (facultativement) Z de chaque vecteur : l'outil renvoie l'angle à la fois en degrés et en radians, accompagné du produit scalaire, de la norme de chaque vecteur et du cosinus de l'angle. Il fonctionne pour n'importe quelle direction de l'espace et trouve son utilité en physique, en ingénierie, en infographie et en algèbre linéaire.
Comment l'utiliser
Entrez les composantes du vecteur A sur la première ligne et celles du vecteur B sur la seconde. Pour des vecteurs en 2D, laissez les champs Z vides ou mettez-les à 0. Cliquez sur « Calculer » pour afficher l'angle. Le résultat est toujours compris entre 0° et 180°, car l'arc cosinus du rapport du produit scalaire renvoie un angle positif ou nul.
La formule expliquée
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare : \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert\cos\theta\). En réarrangeant cette égalité, on obtient \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert}\right)\). Le produit scalaire se calcule par $$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$ et chaque norme correspond à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Si l'un des vecteurs est de longueur nulle, l'angle n'est pas défini : le calculateur prévoit donc une protection contre la division par zéro.
Exemple concret
Prenons \(A = (1, 0, 0)\) et \(B = (1, 1, 0)\). Le produit scalaire vaut $$1\times 1 + 0\times 1 + 0\times 0 = 1.$$ Les normes sont \(\lVert A\rVert = 1\) et \(\lVert B\rVert = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). On a donc \(\cos\theta = 1 / 1{,}4142 \approx 0{,}7071\), soit $$\theta = \arccos(0{,}7071) = 45° \quad (\text{environ } 0{,}7854 \text{ radian}).$$
Interprétation de votre résultat
L'angle \(\theta\) renvoyé par cette calculatrice varie de \(0^\circ\) à \(180^\circ\) (\(0\) à \(\pi\) radians). Comme les magnitudes \(\lVert\vec{A}\rVert\) et \(\lVert\vec{B}\rVert\) sont toujours positives, le signe du cosinus correspond au signe du produit scalaire. Ce seul fait vous indique la relation géométrique en un coup d'œil :
| Angle \(\theta\) | \(\cos\theta\) | Produit scalaire \(\vec{A}\cdot\vec{B}\) | Signification géométrique |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(+1\) | Positif (maximum) | Même direction — les vecteurs sont parallèles |
| \(0^\circ\)–\(90^\circ\) | Entre \(0\) et \(+1\) | Positif | Angle aigu — les vecteurs pointent dans la même direction générale |
| \(90^\circ\) | \(0\) | Zéro | Orthogonal (perpendiculaire) |
| \(90^\circ\)–\(180^\circ\) | Entre \(-1\) et \(0\) | Négatif | Angle obtus — les vecteurs s'opposent dans la direction générale |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | Négatif (minimum) | Direction opposée — anti-parallèles |
Règle de lecture rapide : un produit scalaire positif signifie un angle aigu, un produit scalaire nul signifie un angle droit, et un produit scalaire négatif signifie un angle obtus. Plus \(\cos\theta\) est proche de \(\pm 1\), plus les vecteurs sont proches d'être alignés sur une même ligne.
Définitions & Glossaire
- Vecteur
- Une quantité ayant une magnitude et une direction, écrite sous forme d'une liste ordonnée de composantes telle que \(\vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\).
- Composante vectorielle (x / y / z)
- La projection d'un vecteur sur un axe de coordonnées. \(A_x\), \(A_y\) et \(A_z\) sont les quantités selon lesquelles le vecteur s'étend le long des axes x, y et z respectivement. Pour un vecteur 2D, posez \(A_z = 0\).
- Produit scalaire (produit interne)
- Un nombre unique formé à partir de deux vecteurs : \(\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\). Il est égal à \(\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\), son signe révèle donc si l'angle est aigu, droit ou obtus.
- Magnitude (norme, longueur)
- La longueur d'un vecteur, \(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\). Elle est toujours non-négative.
- Cosinus
- Le ratio trigonométrique \(\cos\theta\) qui ici est égal au produit scalaire normalisé \(\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\). Il varie de \(-1\) (opposé) en passant par \(0\) (perpendiculaire) à \(+1\) (même direction).
- Arccos (cosinus inverse)
- La fonction \(\arccos(x)\) qui récupère l'angle à partir de son cosinus, renvoyant une valeur entre \(0^\circ\) et \(180^\circ\) (\(0\) à \(\pi\) radians).
- Orthogonal / perpendiculaire
- Vecteurs se rencontrant à \(90^\circ\). Leur produit scalaire est exactement zéro.
- Parallèle / anti-parallèle
- Les vecteurs parallèles pointent dans la même direction (\(\theta = 0^\circ\), \(\cos\theta = +1\)) ; les vecteurs anti-parallèles pointent dans les directions exactement opposées (\(\theta = 180^\circ\), \(\cos\theta = -1\)). Dans les deux cas, les vecteurs sont alignés sur une même ligne.
FAQ
Fonctionne-t-il avec des vecteurs en 2D ? Oui — il suffit de laisser les composantes Z vides ou à 0.
Pourquoi l'angle ne dépasse-t-il jamais 180° ? L'arc cosinus renvoie des valeurs comprises entre 0 et 180°, ce qui correspond au plus petit angle entre les deux directions, quelle que soit leur orientation.
Que signifie un résultat de 90° ? Les vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux), ce qui se produit dès que le produit scalaire est exactement nul.
