Qu'est-ce que l'aire entre deux courbes ?
L'aire comprise entre deux courbes f(x) et g(x) sur un intervalle [a, b] correspond à la région totale délimitée par leurs graphes. Mathématiquement, elle est égale à l'intégrale définie de la valeur absolue de leur différence : $$A = \int_{a}^{b} \left| f(x) - g(x) \right|\,dx$$ Le recours à la valeur absolue garantit une aire positive, même lorsque les courbes se croisent ou lorsque la courbe « du dessus » passe « en dessous » à un endroit de l'intervalle.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez chaque fonction en fonction de x — par exemple x^2, 2*x+1, sin(x) ou 4-x^2. Indiquez la borne inférieure a et la borne supérieure b, puis lisez directement le résultat. L'outil prend en charge les opérateurs + − * / ^, les parenthèses, les constantes pi et e, ainsi que les fonctions sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt et abs. Inutile de savoir quelle courbe se trouve au-dessus de l'autre : la différence en valeur absolue est calculée pour vous.
La formule expliquée
Si \(f(x) \geq g(x)\) en tout point de [a, b], l'aire vaut simplement \(\int_{a}^{b} (f - g)\,dx\). Lorsque les courbes se croisent, la différence change de signe : on intègre alors la valeur absolue pour éviter que les contributions ne se compensent. Cette calculatrice évalue l'intégrande en plusieurs milliers de points et applique la méthode de Simpson composite (\(n = 2000\)), ce qui offre une grande précision pour les fonctions régulières.
Exemple résolu
Cherchons l'aire comprise entre la droite \(y = x\) et la parabole \(y = x^2\) sur [0, 1]. Sur cet intervalle, \(x \geq x^2\), donc $$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667 \text{ unité d'aire.}$$
Comment calculer l'aire entre deux courbes à la main
L'aire entre deux courbes \(f(x)\) et \(g(x)\) sur \([a,b]\) est l'intégrale de la distance verticale absolue entre elles. Comme l'ordre des courbes peut changer aux points d'intersection, vous ne pouvez pas simplement intégrer \(f-g\) sans réfléchir — cela introduit une annulation de signes. Suivez cette procédure :
- Trouvez les points d'intersection. Résolvez \(f(x)=g(x)\) pour \(x\) et gardez uniquement les solutions se trouvant à l'intérieur de \([a,b]\). Ce sont les points où les courbes supérieure et inférieure échangent leurs rôles.
- Déterminez la courbe supérieure sur chaque sous-intervalle. Entre deux intersections consécutives, la différence \(f-g\) garde un même signe. Choisissez un point test dans chaque morceau et évaluez \(f-g\) : si positif, \(f\) est au-dessus ; si négatif, \(g\) est au-dessus.
- Divisez l'intégrale aux intersections. Si les courbes se croisent à \(c\) avec \(a
- Intégrez (supérieure − inférieure) sur chaque morceau. Sur chaque sous-intervalle, mettez la fonction la plus grande en premier pour que l'intégrande soit non-négative :
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{supérieure}(x)-\text{inférieure}(x)\big)\,dx.$$ - Additionnez les aires absolues. Additionnez les morceaux : \(A = \sum_i A_i\). Chaque \(A_i\ge 0\), il n'y a donc pas d'annulation.
Le détail de la gestion des signes : la formule compacte \(A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\) est exacte, mais \(\int_a^b (f-g)\,dx\) n'est pas l'aire quand les courbes se croisent. Par exemple, si \(f-g\) est \(+2\) sur un intervalle de largeur 1 et \(-2\) sur l'intervalle de largeur 1 suivant, l'intégrale signée brute donne \(2+(-2)=0\), tandis que la vraie aire est \(|2|+|-2|=4\). Diviser à l'intersection et prendre chaque morceau positivement est exactement ce que la valeur absolue fait.
Termes clés
- Intégrale définie
- La valeur \(\int_a^b h(x)\,dx\), représentant l'aire signée nette entre le graphique de \(h\) et l'axe des x de \(x=a\) à \(x=b\).
- Intégrande
- La fonction en cours d'intégration. Pour l'aire entre courbes, l'intégrande est la différence \(f(x)-g(x)\) (ou sa valeur absolue).
- |f − g| (différence absolue)
- L'écart vertical non-négatif entre les courbes à chaque \(x\). Utiliser la valeur absolue garantit que l'intégrale mesure l'aire géométrique plutôt que d'annuler les régions positives et négatives.
- Point d'intersection / de croisement
- Une valeur de \(x\) où \(f(x)=g(x)\) ; les courbes se touchent ou échangent celle qui est au-dessus. L'intégrale doit être divisée à chaque croisement à l'intérieur de \([a,b]\).
- Bornes a et b
- Les limites inférieure et supérieure d'intégration qui définissent l'intervalle horizontal sur lequel l'aire est mesurée.
- Courbe supérieure / inférieure
- Sur un sous-intervalle donné, la courbe supérieure a la valeur \(y\) plus grande ; l'intégrande de l'aire est (supérieure − inférieure) pour qu'il reste non-négatif.
- Règle de Simpson composée
- Une méthode d'intégration numérique qui approxime \(\int_a^b h\,dx\) en ajustant des paraboles sur des paires de sous-intervalles ; utilisée quand l'intégrande n'a pas d'antidérivée simple.
- Unités carrées
- Les unités dimensionnelles d'un résultat d'aire. Puisque l'aire combine une longueur horizontale avec une longueur verticale, la réponse est exprimée en unités au carré.
FAQ
Est-ce que le choix de f et de g a une importance ? Non. Puisque l'intégrande vaut \(|f - g|\), intervertir les deux fonctions donne exactement la même aire.
Et si les courbes se croisent à l'intérieur de [a, b] ? La valeur absolue tient automatiquement compte des croisements : le résultat correspond donc à l'aire totale délimitée, et non à une différence signée.
Quelle est la précision du résultat ? La méthode de Simpson avec 2000 sous-intervalles est extrêmement précise pour les fonctions continues ; les résultats coïncident généralement avec la valeur exacte sur de nombreuses décimales.
