2曲線間の面積とは？

区間[a, b]における2つの曲線f(x)とg(x)の間の面積とは、それぞれのグラフに挟まれた領域全体の広さのことです。数式で表すと、2つの関数の差の絶対値の定積分、すなわち $A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\,dx$ に等しくなります。絶対値を用いることで、区間の途中で曲線が交差して「上側」と「下側」が入れ替わる場合でも、面積を必ず正の値として求められます。

x軸上の区間における上側の曲線と下側の曲線の間の斜線領域 — 2つの曲線で囲まれた面積は、上を f(x)、下を g(x)、両側を x = a と x = b で囲まれた斜線部分です。

この計算ツールの使い方

各関数をxの式として入力します。たとえば x^2、2*x+1、sin(x)、4-x^2 などです。下限aと上限bを入力すれば、面積がそのまま表示されます。使える演算子は + − * / ^ とかっこ、定数は円周率piと自然対数の底e、関数はsin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、absに対応しています。どちらの曲線が上にあるかを意識する必要はありません。差の絶対値は自動で処理されます。

公式の解説

区間[a, b]全体でf(x) ≥ g(x)が成り立つ場合、面積は単純に $\int_{a}^{b} (f - g)\,dx$ となります。曲線が交差すると差の符号が変わるため、打ち消し合いを防ぐために絶対値をとって積分します。この計算ツールは被積分関数を数千点で評価し、複合シンプソン則（n = 2000）を適用するため、なめらかな関数に対して高い精度が得られます。

交差する2つの曲線と、各関数が上になる2つの別々の斜線領域 — 曲線が交わると、絶対値が積分を分割し、各領域の面積が正のままになります。

計算例

区間[0, 1]における直線 y = x と放物線 y = x² の間の面積を求めてみましょう。この区間ではx ≥ x²なので、$$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$（平方単位）となります。

2つの曲線間の面積を手計算する方法

[a,b]上の2つの曲線$f(x)$と$g(x)$の間の面積は、それらの間の絶対鉛直距離の積分です。曲線の順序は交差点で入れ替わるため、単純に$f-g$を統合することはできません。それは符号の打ち消しをもたらします。この手順に従ってください：

交差点を見つけます。 $f(x)=g(x)$を$x$について解き、[a,b]内にある解のみを保持します。これらは上側の曲線と下側の曲線が役割を交換する点です。
各小区間で上側の曲線を決定します。 連続する交差点の間で、差$f-g$は1つの符号を保ちます。各部分で試験点を選択し、$f-g$を評価します：正の場合、$f$が上にあります；負の場合、$g$が上にあります。
交差点で積分を分割します。 曲線がa
各部分で(上側−下側)を統合します。 各小区間で、より大きい関数を最初に置くため、被積分関数は非負です：
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{上側}(x)-\text{下側}(x)\big)\,dx.$$
絶対値の面積の合計を求めます。 部分を追加します：$A = \sum_i A_i$。各$A_i\ge 0$なので、打ち消しはありません。

符号処理の詳細：コンパクトな公式$A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$は正確ですが、$\int_a^b (f-g)\,dx$は曲線が交差するときの面積ではありません。例えば、$f-g$が幅1の区間で+2、次の幅1の区間で-2の場合、生の符号付き積分は$2+(-2)=0$を与えますが、真の面積は$|2|+|-2|=4$です。交差点で分割し、各部分を正として取得することは、絶対値が正確に行うことです。

重要な用語

定積分: $x=a$から$x=b$までの$h$のグラフとx軸の間の正味符号付き面積を表す値$\int_a^b h(x)\,dx$。
被積分関数: 統合される関数。曲線間の面積の場合、被積分関数は差$f(x)-g(x)$（またはその絶対値）です。
|f − g|（絶対差）: 各$x$での曲線間の非負鉛直ギャップ。絶対値を使用すると、積分は幾何学的面積を測定し、正と負の領域の打ち消しを防ぎます。
交差点/交わる点: $f(x)=g(x)$となる$x$値。曲線が接するか、どちらが上にあるかを交換します。[a,b]内の交差点で積分を分割する必要があります。
境界aおよびb: 面積が測定される水平区間を定義する積分の下限および上限。
上側/下側の曲線: 与えられた小区間では、上側の曲線はより大きいy値を持ちます。面積の被積分関数は(上側−下側)なので、非負のままです。
複合シンプソン則: 小区間のペアにわたって放物線をフィッティングすることによって$\int_a^b h\,dx$を近似する数値積分法。被積分関数に単純な不定積分がない場合に使用されます。
平方単位: 面積結果の寸法単位。面積は水平長さと鉛直長さを組み合わせるため、答えは平方単位で表されます。

よくある質問

fとgのどちらにどの関数を入れるかは結果に影響しますか？ いいえ。被積分関数が$|f - g|$であるため、入れ替えても面積は同じになります。

区間[a, b]の内側で曲線が交差する場合はどうなりますか？ 絶対値が交差を自動的に考慮するので、得られる結果は符号付きの差ではなく、囲まれた領域全体の面積になります。

結果の精度はどのくらいですか？ 2000分割のシンプソン則は連続関数に対してきわめて高精度で、通常は正確な値と小数点以下何桁も一致します。

積分区間	[ 0, 1 ]
計算方法	複合シンプソン則（n = 2000）
被積分関数	\| f(x) − g(x) \|

2曲線間の面積計算ツール

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