¿Qué es el área entre dos curvas?

El área entre dos curvas f(x) y g(x) en un intervalo [a, b] es la región total encerrada entre sus gráficas. Matemáticamente equivale a la integral definida del valor absoluto de su diferencia: $$A = \int_{a}^{b} \left|\,f(x) - g(x)\,\right|\,dx$$ El valor absoluto garantiza que el área sea siempre positiva, incluso cuando las curvas se cruzan o cuando la curva que estaba «por encima» pasa a quedar «por debajo» en algún punto del intervalo.

Región sombreada entre una curva superior y una inferior sobre un intervalo del eje x — El área entre dos curvas es la región sombreada delimitada por arriba por f(x), por abajo por g(x) y a los lados por $x = a$ y $x = b$.

Cómo usar esta calculadora

Escribe cada función en términos de x; por ejemplo, x^2, 2*x+1, sin(x) o 4-x^2. Introduce el límite inferior a y el límite superior b, y obtendrás el área directamente. La herramienta admite los operadores + − * / ^, paréntesis, las constantes pi y e, y las funciones sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt y abs. No necesitas saber qué curva queda por encima: la diferencia en valor absoluto se calcula por ti.

La fórmula explicada

Si $f(x) \ge g(x)$ en todo el intervalo [a, b], el área es simplemente $\int_{a}^{b} (f - g)\,dx$. Cuando las curvas se cruzan, la diferencia cambia de signo, así que integramos el valor absoluto para evitar que las áreas se cancelen entre sí. Esta calculadora evalúa el integrando en miles de puntos y aplica la regla de Simpson compuesta ($n = 2000$), que ofrece una precisión muy alta para funciones suaves.

Dos curvas que se cruzan, con dos regiones sombreadas por separado donde cada función queda arriba — Cuando las curvas se cruzan, el valor absoluto divide la integral para que el área de cada región siga siendo positiva.

Ejemplo resuelto

Calculemos el área entre la recta $y = x$ y la parábola $y = x^2$ en [0, 1]. En ese intervalo se cumple $x \ge x^2$, de modo que $$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667$$ unidades cuadradas.

Cómo calcular el área entre dos curvas manualmente

El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ sobre $[a,b]$ es la integral de la distancia vertical absoluta entre ellas. Dado que el orden de las curvas puede cambiar donde se cruzan, no se puede simplemente integrar $f-g$ ciegamente — eso introduce cancelación de signos. Siga este procedimiento:

Encuentre los puntos de cruce. Resuelva $f(x)=g(x)$ para $x$ y mantenga solo las soluciones que se encuentran dentro de $[a,b]$. Estos son los puntos donde las curvas superior e inferior intercambian roles.
Determine la curva superior en cada subintervalo. Entre cruces consecutivos, la diferencia $f-g$ mantiene un signo. Elija un punto de prueba en cada pieza y evalúe $f-g$: si es positivo, $f$ está arriba; si es negativo, $g$ está arriba.
Divida la integral en los cruces. Si las curvas se cruzan en $c$ con \(a
Integre (superior − inferior) en cada pieza. En cada subintervalo ponga la función más grande primero para que el integrando sea no negativo:
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{superior}(x)-\text{inferior}(x)\big)\,dx.$$
Sume las áreas absolutas. Agregue las piezas: $A = \sum_i A_i$. Cada $A_i\ge 0$, así que no hay cancelación.

El detalle del manejo de signos: la fórmula compacta $A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ es exacta, pero $\int_a^b (f-g)\,dx$ no es el área cuando las curvas se cruzan. Por ejemplo, si $f-g$ es $+2$ sobre un intervalo de ancho 1 y $-2$ sobre el siguiente intervalo de ancho 1, la integral con signo bruto da $2+(-2)=0$, mientras que el área verdadera es $|2|+|-2|=4$. Dividir en el cruce y tomar cada pieza positivamente es exactamente lo que hace el valor absoluto.

Términos clave

Integral definida: El valor $\int_a^b h(x)\,dx$, que representa el área neta con signo entre la gráfica de $h$ y el eje x desde $x=a$ hasta $x=b$.
Integrando: La función que se está integrando. Para el área entre curvas el integrando es la diferencia $f(x)-g(x)$ (o su valor absoluto).
|f − g| (diferencia absoluta): La brecha vertical no negativa entre las curvas en cada $x$. Usar el valor absoluto garantiza que la integral mida el área geométrica en lugar de cancelar regiones positivas y negativas.
Punto de intersección / cruce: Un valor de $x$ donde $f(x)=g(x)$; las curvas se tocan o intercambian cuál está arriba. La integral debe dividirse en cualquier cruce dentro de $[a,b]$.
Límites a y b: Los límites inferior y superior de integración que definen el intervalo horizontal sobre el cual se mide el área.
Curva superior / inferior: En un subintervalo dado, la curva superior tiene el valor y más grande; el integrando del área es (superior − inferior) para que permanezca no negativo.
Regla de Simpson compuesta: Un método de integración numérica que aproxima $\int_a^b h\,dx$ ajustando parábolas sobre pares de subintervalos; se usa cuando el integrando no tiene una antiderivada simple.
Unidades cuadradas: Las unidades dimensionales de un resultado de área. Dado que el área combina una longitud horizontal con una longitud vertical, la respuesta se expresa en unidades al cuadrado.

Preguntas frecuentes

¿Importa qué función ponga como f y cuál como g? No. Como el integrando es $\left|f - g\right|$, intercambiarlas da exactamente la misma área.

¿Y si las curvas se cruzan dentro de [a, b]? El valor absoluto tiene en cuenta los cruces automáticamente, así que el resultado es el área total encerrada, no una diferencia con signo.

¿Qué precisión tiene el resultado? La regla de Simpson con 2000 subintervalos es muy precisa para funciones continuas; los resultados suelen coincidir con el valor exacto hasta muchos decimales.

Intervalo de integración	[ 0, 1 ]
Método	Regla de Simpson compuesta (n = 2000)
Integrando	\| f(x) − g(x) \|

Calculadora del área entre dos curvas

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