두 곡선 사이의 넓이란?

구간 [a, b]에서 두 곡선 f(x)와 g(x) 사이의 넓이는 두 그래프 사이에 둘러싸인 전체 영역을 뜻합니다. 수학적으로는 두 함수 차의 절댓값을 정적분한 값과 같으며, $$A = \int_{a}^{b} \left|\,f(x) - g(x)\,\right|\,dx$$ 로 나타냅니다. 절댓값을 사용하면 구간 안에서 곡선이 서로 교차하거나 '위쪽' 곡선과 '아래쪽' 곡선이 도중에 바뀌더라도 항상 양수인 넓이를 얻을 수 있습니다.

x축의 한 구간에서 위쪽 곡선과 아래쪽 곡선 사이의 음영 영역 — 두 곡선 사이의 넓이는 위는 f(x), 아래는 g(x), 양옆은 x = a와 x = b로 둘러싸인 음영 영역입니다.

계산기 사용법

각 함수를 x에 대한 식으로 입력하세요. 예를 들어 x^2, 2*x+1, sin(x), 4-x^2 처럼 쓰면 됩니다. 아래끝 a와 위끝 b를 입력하면 넓이가 곧바로 표시됩니다. 이 도구는 + − * / ^ 연산자와 괄호, 상수 pi와 e, 그리고 sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs 함수를 지원합니다. 어느 곡선이 위에 있는지 미리 알 필요는 없습니다. 차의 절댓값을 알아서 처리해 주기 때문입니다.

공식 풀이

구간 [a, b] 전체에서 $f(x) \ge g(x)$ 라면, 넓이는 단순히 $\int_{a}^{b} (f - g)\,dx$ 입니다. 하지만 곡선이 교차하면 차의 부호가 바뀌므로, 양수와 음수가 서로 상쇄되지 않도록 절댓값을 적분합니다. 이 계산기는 적분할 함수를 수천 개의 점에서 계산한 뒤 합성 심프슨 공식($n = 2000$)을 적용하므로, 매끄러운 함수에 대해 매우 높은 정확도를 보입니다.

교차하는 두 곡선과 각 함수가 위에 오는 두 개의 따로 음영 처리된 영역 — 곡선이 교차하면 절댓값이 적분을 나누어 각 영역의 넓이가 양수로 유지됩니다.

예제 풀이

직선 $y = x$ 와 포물선 $y = x^2$ 사이의 넓이를 구간 [0, 1]에서 구해 봅시다. 이 구간에서는 $x \ge x^2$ 이므로, $$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ (제곱 단위) 입니다.

두 곡선 사이의 넓이를 손으로 계산하는 방법

구간 $[a,b]$ 위에서 두 곡선 $f(x)$와 $g(x)$ 사이의 넓이는 그들 사이의 절댓값 수직 거리의 적분입니다. 곡선이 교차하는 곳에서 위아래 순서가 바뀔 수 있기 때문에, 단순히 $f-g$를 적분하면 안 됩니다. 그렇게 하면 부호가 상쇄됩니다. 다음 절차를 따르세요:

교점을 찾으세요. $f(x)=g(x)$를 풀어서 $x$를 구하고 $[a,b]$ 범위 내의 해만 유지하세요. 이들이 위쪽 곡선과 아래쪽 곡선이 역할을 바꾸는 점들입니다.
각 부분 구간에서 위쪽 곡선을 결정하세요. 연속된 교점 사이에서 $f-g$ 차이는 한 가지 부호를 유지합니다. 각 부분에서 시험점을 선택하여 $f-g$를 계산하세요: 양수이면 $f$가 위쪽이고, 음수이면 $g$가 위쪽입니다.
교점에서 적분을 나누세요. 곡선이 \(a
각 부분에서 (위쪽 − 아래쪽)을 적분하세요. 각 부분 구간에서 더 큰 함수를 먼저 놓아서 피적분함수가 음이 아니도록 하세요:
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{위쪽}(x)-\text{아래쪽}(x)\big)\,dx.$$
절댓값 넓이들을 합하세요. 부분들을 더하세요: $A = \sum_i A_i$. 각 $A_i\ge 0$이므로 상쇄가 없습니다.

부호 처리 세부사항: 간단한 공식 $A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$는 정확하지만, 곡선이 교차할 때 $\int_a^b (f-g)\,dx$는 넓이가 아닙니다. 예를 들어, $f-g$가 폭 1인 구간에서 $+2$이고 다음 폭 1인 구간에서 $-2$라면, 순수하게 부호를 고려한 적분은 $2+(-2)=0$을 주지만, 참 넓이는 $|2|+|-2|=4$입니다. 교점에서 나누고 각 부분을 양수로 취하는 것이 정확히 절댓값이 하는 일입니다.

주요 용어

정적분(Definite integral): 값 $\int_a^b h(x)\,dx$는 $x=a$에서 $x=b$까지 $h$의 그래프와 $x$축 사이의 순부호 있는 넓이를 나타냅니다.
피적분함수(Integrand): 적분되는 함수입니다. 곡선 사이의 넓이의 경우 피적분함수는 차이 $f(x)-g(x)$ (또는 그 절댓값)입니다.
|f − g| (절댓값 차이): 각 $x$에서 곡선 사이의 음이 아닌 수직 간격입니다. 절댓값을 사용하면 양수와 음수 영역이 상쇄되지 않고 기하학적 넓이를 측정함을 보장합니다.
교점 / 교차점(Intersection / crossing point): $f(x)=g(x)$인 $x$ 값입니다. 곡선이 만나거나 위쪽에 어느 것이 있는지 바뀝니다. $[a,b]$ 내의 모든 교차점에서 적분을 나누어야 합니다.
경계 a와 b(Bounds a and b): 넓이를 측정하는 수평 구간을 정의하는 적분의 하한과 상한입니다.
위쪽 / 아래쪽 곡선(Upper / lower curve): 주어진 부분 구간에서 위쪽 곡선은 더 큰 $y$ 값을 가집니다. 넓이 피적분함수는 (위쪽 − 아래쪽)이므로 음이 아닌 상태로 유지됩니다.
합성 심프슨의 법칙(Composite Simpson's rule): 부분 구간의 쌍에 대해 포물선을 맞춰서 $\int_a^b h\,dx$를 근사하는 수치적분 방법입니다. 피적분함수가 간단한 부정적분을 갖지 않을 때 사용됩니다.
제곱 단위(Square units): 넓이 결과의 차원 단위입니다. 넓이는 수평 길이와 수직 길이를 결합하므로 답은 제곱 단위로 표현됩니다.

자주 묻는 질문

어느 함수를 f로 두고 어느 함수를 g로 둬도 상관없나요? 네, 상관없습니다. 적분 대상이 $|f - g|$ 이기 때문에 둘을 바꿔 넣어도 넓이는 똑같습니다.

구간 [a, b] 안에서 곡선이 교차하면 어떻게 되나요? 절댓값이 교차 지점을 자동으로 반영하므로, 결과는 부호가 섞인 차가 아니라 둘러싸인 전체 넓이가 됩니다.

결과는 얼마나 정확한가요? 2000개의 소구간을 사용하는 심프슨 공식은 연속 함수에 대해 극도로 정확하며, 보통 소수점 아래 여러 자리까지 정확한 값과 일치합니다.

적분 구간	[ 0, 1 ]
계산 방법	합성 심프슨 공식 (n = 2000)
피적분 함수	\| f(x) − g(x) \|

두 곡선 사이의 넓이 계산기

계산 입력

공식

결과