두 곡선 사이의 넓이 계산기

적분 구간	[ 0, 1 ]
계산 방법	합성 심프슨 공식 (n = 2000)
피적분 함수	\| f(x) − g(x) \|

두 곡선 사이의 넓이란?

구간 [a, b]에서 두 곡선 f(x)와 g(x) 사이의 넓이는 두 그래프 사이에 둘러싸인 전체 영역을 뜻합니다. 수학적으로는 두 함수 차의 절댓값을 정적분한 값과 같으며, $$A = \int_{a}^{b} \left|\,f(x) - g(x)\,\right|\,dx$$ 로 나타냅니다. 절댓값을 사용하면 구간 안에서 곡선이 서로 교차하거나 '위쪽' 곡선과 '아래쪽' 곡선이 도중에 바뀌더라도 항상 양수인 넓이를 얻을 수 있습니다.

x축의 한 구간에서 위쪽 곡선과 아래쪽 곡선 사이의 음영 영역 — 두 곡선 사이의 넓이는 위는 f(x), 아래는 g(x), 양옆은 x = a와 x = b로 둘러싸인 음영 영역입니다.

계산기 사용법

각 함수를 x에 대한 식으로 입력하세요. 예를 들어 x^2, 2*x+1, sin(x), 4-x^2 처럼 쓰면 됩니다. 아래끝 a와 위끝 b를 입력하면 넓이가 곧바로 표시됩니다. 이 도구는 + − * / ^ 연산자와 괄호, 상수 pi와 e, 그리고 sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs 함수를 지원합니다. 어느 곡선이 위에 있는지 미리 알 필요는 없습니다. 차의 절댓값을 알아서 처리해 주기 때문입니다.

공식 풀이

구간 [a, b] 전체에서 $f(x) \ge g(x)$ 라면, 넓이는 단순히 $\int_{a}^{b} (f - g)\,dx$ 입니다. 하지만 곡선이 교차하면 차의 부호가 바뀌므로, 양수와 음수가 서로 상쇄되지 않도록 절댓값을 적분합니다. 이 계산기는 적분할 함수를 수천 개의 점에서 계산한 뒤 합성 심프슨 공식($n = 2000$)을 적용하므로, 매끄러운 함수에 대해 매우 높은 정확도를 보입니다.

교차하는 두 곡선과 각 함수가 위에 오는 두 개의 따로 음영 처리된 영역 — 곡선이 교차하면 절댓값이 적분을 나누어 각 영역의 넓이가 양수로 유지됩니다.

예제 풀이

직선 $y = x$ 와 포물선 $y = x^2$ 사이의 넓이를 구간 [0, 1]에서 구해 봅시다. 이 구간에서는 $x \ge x^2$ 이므로, $$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ (제곱 단위) 입니다.

두 곡선 사이의 넓이를 손으로 계산하는 방법

구간 $[a,b]$ 위에서 두 곡선 $f(x)$와 $g(x)$ 사이의 넓이는 그들 사이의 절댓값 수직 거리의 적분입니다. 곡선이 교차하는 곳에서 위아래 순서가 바뀔 수 있기 때문에, 단순히 $f-g$를 적분하면 안 됩니다. 그렇게 하면 부호가 상쇄됩니다. 다음 절차를 따르세요:

교점을 찾으세요. $f(x)=g(x)$를 풀어서 $x$를 구하고 $[a,b]$ 범위 내의 해만 유지하세요. 이들이 위쪽 곡선과 아래쪽 곡선이 역할을 바꾸는 점들입니다.
각 부분 구간에서 위쪽 곡선을 결정하세요. 연속된 교점 사이에서 $f-g$ 차이는 한 가지 부호를 유지합니다. 각 부분에서 시험점을 선택하여 $f-g$를 계산하세요: 양수이면 $f$가 위쪽이고, 음수이면 $g$가 위쪽입니다.
교점에서 적분을 나누세요. 곡선이 \(a
각 부분에서 (위쪽 − 아래쪽)을 적분하세요. 각 부분 구간에서 더 큰 함수를 먼저 놓아서 피적분함수가 음이 아니도록 하세요:
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{위쪽}(x)-\text{아래쪽}(x)\big)\,dx.$$
절댓값 넓이들을 합하세요. 부분들을 더하세요: $A = \sum_i A_i$. 각 $A_i\ge 0$이므로 상쇄가 없습니다.

부호 처리 세부사항: 간단한 공식 $A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$는 정확하지만, 곡선이 교차할 때 $\int_a^b (f-g)\,dx$는 넓이가 아닙니다. 예를 들어, $f-g$가 폭 1인 구간에서 $+2$이고 다음 폭 1인 구간에서 $-2$라면, 순수하게 부호를 고려한 적분은 $2+(-2)=0$을 주지만, 참 넓이는 $|2|+|-2|=4$입니다. 교점에서 나누고 각 부분을 양수로 취하는 것이 정확히 절댓값이 하는 일입니다.

주요 용어

정적분(Definite integral): 값 $\int_a^b h(x)\,dx$는 $x=a$에서 $x=b$까지 $h$의 그래프와 $x$축 사이의 순부호 있는 넓이를 나타냅니다.
피적분함수(Integrand): 적분되는 함수입니다. 곡선 사이의 넓이의 경우 피적분함수는 차이 $f(x)-g(x)$ (또는 그 절댓값)입니다.
|f − g| (절댓값 차이): 각 $x$에서 곡선 사이의 음이 아닌 수직 간격입니다. 절댓값을 사용하면 양수와 음수 영역이 상쇄되지 않고 기하학적 넓이를 측정함을 보장합니다.
교점 / 교차점(Intersection / crossing point): $f(x)=g(x)$인 $x$ 값입니다. 곡선이 만나거나 위쪽에 어느 것이 있는지 바뀝니다. $[a,b]$ 내의 모든 교차점에서 적분을 나누어야 합니다.
경계 a와 b(Bounds a and b): 넓이를 측정하는 수평 구간을 정의하는 적분의 하한과 상한입니다.
위쪽 / 아래쪽 곡선(Upper / lower curve): 주어진 부분 구간에서 위쪽 곡선은 더 큰 $y$ 값을 가집니다. 넓이 피적분함수는 (위쪽 − 아래쪽)이므로 음이 아닌 상태로 유지됩니다.
합성 심프슨의 법칙(Composite Simpson's rule): 부분 구간의 쌍에 대해 포물선을 맞춰서 $\int_a^b h\,dx$를 근사하는 수치적분 방법입니다. 피적분함수가 간단한 부정적분을 갖지 않을 때 사용됩니다.
제곱 단위(Square units): 넓이 결과의 차원 단위입니다. 넓이는 수평 길이와 수직 길이를 결합하므로 답은 제곱 단위로 표현됩니다.