Что такое площадь между двумя кривыми?

Площадь между кривыми f(x) и g(x) на отрезке [a, b] — это общая площадь фигуры, заключённой между их графиками. Математически она равна определённому интегралу от модуля разности функций: $$A = \int_{a}^{b} \left|\,f(x) - g(x)\,\right|\,dx$$ Модуль гарантирует, что площадь будет положительной даже тогда, когда кривые пересекаются и «верхняя» функция на каком-то участке оказывается «нижней».

Закрашенная область между верхней и нижней кривыми на интервале оси x — Площадь между двумя кривыми — это закрашенная область, ограниченная сверху f(x), снизу g(x), а по бокам прямыми $x = a$ и $x = b$.

Как пользоваться калькулятором

Запишите каждую функцию через переменную x — например, x^2, 2*x+1, sin(x) или 4-x^2. Введите нижний предел a и верхний предел b и получите площадь. Калькулятор понимает операции + − * / ^, скобки, константы pi и e, а также функции sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt и abs. Заранее определять, какая кривая лежит выше, не нужно — модуль разности учитывается автоматически.

Разбор формулы

Если f(x) ≥ g(x) на всём отрезке [a, b], то площадь равна просто $\int_{a}^{b} (f - g)\,dx$. Когда же кривые пересекаются, разность меняет знак, поэтому мы интегрируем именно модуль — иначе части площади взаимно сократятся. Калькулятор вычисляет подынтегральную функцию в тысячах точек и применяет составную формулу Симпсона ($n = 2000$), что даёт высокую точность для гладких функций.

Две пересекающиеся кривые с двумя отдельно закрашенными областями, где сверху оказывается своя функция — Когда кривые пересекаются, модуль разбивает интеграл, чтобы площадь каждой области оставалась положительной.

Пример решения

Найдём площадь между прямой $y = x$ и параболой $y = x^2$ на отрезке [0, 1]. На этом отрезке $x \geq x^2$, поэтому $$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667$$ квадратной единицы.

Частые вопросы

Важно ли, какую функцию обозначить как f, а какую как g? Нет. Поскольку под интегралом стоит $\left|f - g\right|$, при перестановке функций результат не изменится.

Что если кривые пересекаются внутри отрезка [a, b]? Модуль автоматически учитывает все точки пересечения, поэтому в ответе вы получаете полную площадь фигуры, а не разность со знаком.

Насколько точен результат? Формула Симпсона с 2000 подынтервалами обеспечивает очень высокую точность для непрерывных функций — результат, как правило, совпадает с точным значением до многих знаков после запятой.

Как вычислить площадь между двумя кривыми вручную

Площадь между двумя кривыми $f(x)$ и $g(x)$ над $[a,b]$ — это интеграл от абсолютной вертикальной дистанции между ними. Поскольку порядок кривых может меняться в местах их пересечения, вы не можете просто слепо интегрировать $f-g$ — это вызывает сокращение знаков. Следуйте этой процедуре:

Найдите точки пересечения. Решите $f(x)=g(x)$ для $x$ и оставьте только решения, лежащие внутри $[a,b]$. Это точки, где роли верхней и нижней кривых меняются.
Определите верхнюю кривую на каждом подинтервале. Между последовательными пересечениями разность $f-g$ имеет постоянный знак. Выберите тестовую точку в каждой части и вычислите $f-g$: если положительное, то $f$ сверху; если отрицательное, то $g$ сверху.
Разбейте интеграл в точках пересечения. Если кривые пересекаются в $c$ с \(a
Интегрируйте (верхняя − нижняя) на каждой части. На каждом подинтервале ставьте большую функцию первой, чтобы подынтегральное выражение было неотрицательным:
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{верхняя}(x)-\text{нижняя}(x)\big)\,dx.$$
Суммируйте абсолютные площади. Сложите части: $A = \sum_i A_i$. Каждый $A_i\ge 0$, поэтому сокращения нет.

Деталь обработки знака: компактная формула $A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ точна, но $\int_a^b (f-g)\,dx$ не является площадью, когда кривые пересекаются. Например, если $f-g$ равно $+2$ над интервалом ширины 1 и $-2$ над следующим интервалом ширины 1, сырой знаковый интеграл дает $2+(-2)=0$, в то время как истинная площадь равна $|2|+|-2|=4$. Разбиение в точке пересечения и принятие каждой части положительной — это ровно то, что делает абсолютное значение.

Ключевые термины

Определённый интеграл: Значение $\int_a^b h(x)\,dx$, представляющее чистую знаковую площадь между графиком $h$ и осью x от $x=a$ до $x=b$.
Подынтегральное выражение: Функция, которая интегрируется. Для площади между кривыми подынтегральное выражение — это разность $f(x)-g(x)$ (или её абсолютное значение).
|f − g| (абсолютная разность): Неотрицательный вертикальный зазор между кривыми в каждом $x$. Использование абсолютного значения гарантирует, что интеграл измеряет геометрическую площадь, а не сокращает положительные и отрицательные области.
Точка пересечения: Значение $x$, где $f(x)=g(x)$; кривые соприкасаются или меняют, какая из них сверху. Интеграл должен быть разбит в любой точке пересечения внутри $[a,b]$.
Границы a и b: Нижний и верхний пределы интегрирования, которые определяют горизонтальный интервал, над которым измеряется площадь.
Верхняя / нижняя кривая: На данном подинтервале верхняя кривая имеет большее значение y; интегрант площади — (верхняя − нижняя), так что он остаётся неотрицательным.
Составное правило Симпсона: Числовой метод интегрирования, который аппроксимирует $\int_a^b h\,dx$ путём подгонки парабол над парами подинтервалов; используется, когда подынтегральное выражение не имеет простой первообразной.
Квадратные единицы: Единицы размерности результата площади. Поскольку площадь объединяет горизонтальную длину с вертикальной длиной, ответ выражается в квадратных единицах.

Отрезок интегрирования	[ 0, 1 ]
Метод	Составная формула Симпсона (n = 2000)
Подынтегральная функция	\| f(x) − g(x) \|

Калькулятор площади между двумя кривыми

Введите расчет

Математическая формула

Результатов