Что такое умножение матриц 2×2?

Умножение матриц объединяет две матрицы в одну матрицу-произведение. Для двух матриц 2×2 — A и B — произведение $C = A \cdot B$ также является матрицей 2×2. Каждый элемент матрицы C получается так: берётся строка матрицы A и столбец матрицы B, соответствующие элементы перемножаются, а результаты складываются — это скалярное произведение «строка на столбец». Калькулятор вычисляет все четыре элемента матрицы C по восьми введённым вами числам.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре элемента матрицы A (A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂), а затем четыре элемента матрицы B в том же порядке — строка за строкой. Нажмите «Вычислить», и инструмент покажет матрицу-произведение C в виде сетки 2×2, а также каждый её элемент по отдельности. Значения могут быть положительными, отрицательными или дробными.

Разбор формулы

Для матриц 2×2 правило выглядит так:

$$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}$$$$c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}$$$$c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}$$$$c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}$$

В общем виде элемент $c_{ij}$ равен сумме по k произведений $a_{ik} \cdot b_{kj}$. Важно помнить: умножение матриц некоммутативно — как правило, A·B и B·A дают разные результаты.

Схема, показывающая умножение строки матрицы A на столбец матрицы B для получения одного элемента матрицы произведения C — Каждый элемент C — это скалярное произведение строки A и столбца B.

Пример с решением

Пусть A = [[1, 2], [3, 4]] и B = [[5, 6], [7, 8]]. Тогда:

$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$$

Итого: C = [[19, 22], [43, 50]].

Пошаговое вычисление четырёх элементов матрицы произведения 2×2 — Четыре элемента произведения c11, c12, c21, c22 — каждый объединяет два умножения.

Частые вопросы

A·B и B·A — это одно и то же? Нет. Умножение матриц в общем случае некоммутативно, поэтому порядок множителей имеет значение.

Можно ли перемножать матрицы разных размеров? Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой равно числу строк второй. Для двух матриц 2×2 это условие выполняется всегда.

Что такое единичная матрица? Единичная матрица 2×2 — это [[1, 0], [0, 1]]. Умножение любой матрицы на неё оставляет матрицу без изменений.

Ещё разобранные примеры

Каждое произведение $C = A \cdot B$ находится путём вычисления скалярного произведения строки матрицы $A$ со столбцом матрицы $B$. Элемент $C_{ij}$ использует строку $i$ матрицы $A$ и столбец $j$ матрицы $B$: $C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}$.

Пример 1 — Отрицательные и десятичные элементы

Пусть $A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}$ и $B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}$.

$C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5$
$C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75$
$C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4$
$C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2$

Таким образом, $C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$. Верхний левый элемент равен -5.

Пример 2 — Умножение на единичную матрицу

Пусть $A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ и $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Умножение любой матрицы на единичную матрицу даёт исходную матрицу.

$C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7$
$C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2$
$C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3$
$C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5$

Таким образом, $A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A$, что подтверждает, что $I$ действует как мультипликативный элемент идентичности.

Пример 3 — Демонстрация того, что $A \cdot B \neq B \cdot A$

Пусть $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ и $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$.

Сначала вычислим $A \cdot B$:

$C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10$
$C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13$
$C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20$
$C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27$

$A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}$; верхний левый элемент равен 10.

Теперь изменим порядок, вычислим $B \cdot A$:

$C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3$
$C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4$
$C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23$
$C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34$

$B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$; верхний левый элемент равен 3.

Так как $\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$, умножение матриц не коммутативно: порядок множителей имеет значение.

Определения и глоссарий

Матрица: Прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах, записываемый в квадратных скобках. Её размер задаётся как (количество строк) × (количество столбцов).
Матрица 2×2: Квадратная матрица с двумя строками и двумя столбцами, содержащая ровно четыре элемента: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
Элемент матрицы ($a_{ij}$): Одно число внутри матрицы. Нижний индекс $a_{ij}$ указывает его позицию: $i$ — номер строки, $j$ — номер столбца. Например, $a_{21}$ — это элемент в строке 2, столбце 1.
Строка: Горизонтальная линия элементов. В матрице 2×2 строка 1 — это $[a_{11}\ \ a_{12}]$ и строка 2 — это $[a_{21}\ \ a_{22}]$.
Столбец: Вертикальная линия элементов. В матрице 2×2 столбец 1 — это $\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}$ и столбец 2 — это $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}$.
Скалярное произведение: Сумма попарных произведений соответствующих элементов строки и столбца. Каждый элемент матрицы произведения — это скалярное произведение строки матрицы $A$ со столбцом матрицы $B$, например $C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}$.
Матрица произведения $C$: Результат умножения двух матриц, $C = A \cdot B$. Для матриц 2×2 матрица $C$ также является 2×2, где каждый элемент $C_{ij}$ образован из строки $i$ матрицы $A$ и столбца $j$ матрицы $B$.
Единичная матрица ($I$): Квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Единичная матрица 2×2 — это $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Она удовлетворяет свойству $A \cdot I = I \cdot A = A$, действуя как число 1 при умножении.
Коммутативность: Свойство, при котором порядок операндов не изменяет результат (например, $2 \times 3 = 3 \times 2$). Умножение матриц в общем случае не коммутативно: обычно $A \cdot B \neq B \cdot A$, поэтому левый и правый множители должны оставаться в указанном порядке.

Калькулятор умножения матриц 2×2

Введите расчет

Математическая формула

Результатов