Что такое калькулятор степени матрицы?
Этот инструмент возводит квадратную матрицу A в целую степень n, что записывается как \(A^{n}\). Калькулятор умножает матрицу саму на себя n раз и выдаёт итоговую матрицу. Он работает с матрицами 2×2, 3×3 и 4×4, состоящими из действительных чисел. Степени матриц встречаются повсюду в линейной алгебре: в цепях Маркова и матрицах переходов, в степенях матрицы смежности графа (подсчёт маршрутов), в дискретных динамических системах и в рекуррентных соотношениях вроде чисел Фибоначчи.
Как пользоваться
Выберите размер матрицы, введите каждый элемент матрицы A в соответствующую ячейку сетки (допускаются дробные и отрицательные числа), затем укажите целый показатель степени n и нажмите «Вычислить». Введите n = 0, чтобы получить единичную матрицу, n = 1, чтобы вернуть A без изменений, и любое n ≥ 2 для многократного умножения. Если матрица A обратима, можно задать и отрицательное n — тогда сначала вычисляется обратная матрица, которая затем возводится в степень |n|.
Формула
Степень матрицы определяется рекурсивно: \(A^{0} = I\) (единичная матрица), \(A^{1} = A\) и \(A^{n} = A \cdot A^{n-1}\).
$$A^{\,n} = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n\ \text{times}}$$Произведение \(C = A \cdot B\) двух матриц размера j×j имеет элементы \(C[i][k] = \sum A[i][m] \cdot B[m][k]\). Для ускорения калькулятор применяет возведение в степень через возведение в квадрат, но результат полностью совпадает с обычным последовательным умножением. Степень матрицы определена только в том случае, если A квадратная (число строк равно числу столбцов).
Разбор примера
Пусть A = [[1, 2], [3, 4]] и n = 2. Тогда \(A^{2} = A \cdot A\) даёт
$$c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7,\quad c_{12} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 10,$$$$c_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 15,\quad c_{22} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 22,$$поэтому \(A^{2} = [[7, 10], [15, 22]]\). Возведя ещё раз в квадрат (или вычислив \(A^{3} = A^{2} \cdot A\)), получаем \(A^{3} = [[37, 54], [81, 118]]\).
Частые вопросы
Что возвращает n = 0? По соглашению — единичную матрицу I того же размера.
Можно ли использовать отрицательный показатель? Да, если матрица A обратима (определитель ≠ 0).
$$A^{\,n} = \left(A^{-1}\right)^{\left|n\right|},\quad \det(A) \neq 0$$\(A^{-k}\) равно \(\left(A^{-1}\right)^{k}\). Если определитель равен 0, результат не определён, и калькулятор выдаст предупреждение.
Почему в некоторых элементах появляются крошечные дробные части? При больших степенях или больших значениях элементов накапливается погрешность округления чисел с плавающей точкой; результаты округляются примерно до 14 значащих цифр.
