गणना दर्ज करें

परिणाम

Matrix A to the power n (A²)

7	10
15	22

मैट्रिक्स आकार	2 x 2
घातांक n	2

मैट्रिक्स पावर कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल किसी वर्ग मैट्रिक्स A को पूर्णांक घात n तक बढ़ाता है, जिसे $A^{n}$ लिखा जाता है। यह मैट्रिक्स को खुद से n बार गुणा करके परिणामी मैट्रिक्स लौटाता है। यह वास्तविक संख्याओं वाले 2x2, 3x3 और 4x4 मैट्रिक्स के लिए काम करता है। मैट्रिक्स की घातें रैखिक बीजगणित में हर जगह दिखती हैं: मार्कोव श्रृंखलाएँ और संक्रमण मैट्रिक्स, ग्राफ़ की आसन्नता घातें (वॉक गिनना), असतत गतिकीय निकाय, और फिबोनाची जैसे पुनरावृत्ति संबंध।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले मैट्रिक्स का आकार चुनें, फिर A की हर प्रविष्टि को ग्रिड में सेल दर सेल भरें (दशमलव और ऋणात्मक मान भी चलेंगे), इसके बाद पूर्णांक घातांक n दर्ज करें और गणना करें। तत्समक (identity) मैट्रिक्स पाने के लिए n = 0 लें, A को ज्यों का त्यों पाने के लिए n = 1 और बार-बार गुणन के लिए कोई भी n ≥ 2 चुनें। यदि A प्रतिलोमनीय है तो आप ऋणात्मक n भी दर्ज कर सकते हैं — ऐसी स्थिति में पहले प्रतिलोम निकाला जाता है और फिर उसे |n| घात तक बढ़ाया जाता है।

सूत्र

घात की परिभाषा पुनरावर्ती रूप से होती है: $A^{0} = I$ (तत्समक), $A^{1} = A$, और $A^{n} = A \cdot A^{n-1}$। दो j×j मैट्रिक्स के गुणनफल $C = A \cdot B$ की प्रविष्टियाँ इस प्रकार होती हैं: $$C[i][k] = \sum A[i][m] \cdot B[m][k]$$ यह कैलकुलेटर दक्षता के लिए वर्गन द्वारा घातांकन (exponentiation by squaring) का उपयोग करता है, पर उत्तर सीधे बार-बार गुणन के समान ही होता है। मैट्रिक्स की घात केवल तभी परिभाषित होती है जब A वर्ग हो (पंक्तियाँ = स्तंभ)। इसकी सामान्य परिभाषा है: $$A^{n} = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n\ \text{times}}$$

आरेख जो A की n घात को मैट्रिक्स A की n प्रतियों के बार-बार गुणन के रूप में दर्शाता है — मैट्रिक्स घात Aⁿ का अर्थ है मैट्रिक्स A को स्वयं से n बार गुणा करना।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें A = [[1, 2], [3, 4]] और n = 2। तब $A^{2} = A \cdot A$ से $c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7$, $c_{12} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 10$, $c_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 15$, $c_{22} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 22$, यानी $A^{2} = [[7, 10], [15, 22]]$। इसे एक बार और वर्ग करने पर (या $A^{3} = A^{2} \cdot A$ निकालने पर) $A^{3} = [[37, 54], [81, 118]]$ मिलता है।

2x2 मैट्रिक्स का वर्ग करके परिणामी मैट्रिक्स बनाने का हल किया गया उदाहरण — एक 2x2 मैट्रिक्स को स्वयं से गुणा करके A² की गणना।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

n = 0 पर क्या मिलता है? परंपरा के अनुसार उसी आकार की तत्समक मैट्रिक्स I।

क्या मैं ऋणात्मक घातांक इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ, बशर्ते A प्रतिलोमनीय हो (सारणिक ≠ 0)। $A^{-k}$, $\left(A^{-1}\right)^{k}$ के बराबर होता है: $$A^{n} = \left(A^{-1}\right)^{\left|n\right|},\quad \det(A) \neq 0$$ यदि सारणिक 0 है तो परिणाम अपरिभाषित होता है और कैलकुलेटर आपको चेतावनी देता है।

कुछ प्रविष्टियों में छोटे-छोटे दशमलव क्यों दिखते हैं? बड़ी घातों या बड़े मानों के लिए फ्लोटिंग-पॉइंट राउंडिंग जमा हो सकती है; परिणामों को लगभग 14 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किया जाता है।

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