n×n मैट्रिक्स सारणिक कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल वास्तविक संख्याओं वाले किसी भी वर्ग n×n मैट्रिक्स का सारणिक \(\det(A)\) निकालता है, साथ ही उसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{\det(A)}\) भी। सारणिक एक ऐसी अकेली संख्या है जो बताती है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय (invertible, \(\det \neq 0\)) है या एकवचनी (singular, \(\det = 0\))। यह रैखिक बीजगणित, ज्यामिति (चिह्नित आयतन का मापन) और समीकरण निकायों में हर जगह काम आता है। गणित सार्वभौमिक है — दुनिया भर में इसका तरीका एक जैसा ही रहता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले मैट्रिक्स का आकार \(n\) (1 से 10) तय करें, फिर ग्रिड में हर प्रविष्टि \(a_{ij}\) भरें। प्रविष्टियाँ ऋणात्मक, दशमलव या शून्य भी हो सकती हैं। अधिक परिशुद्धता चाहिए तो प्रदर्शित होने वाले अंकों की संख्या चुन लें। कैलकुलेटर सारणिक देता है और जब मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय हो तो व्युत्क्रम \(\frac{1}{\det(A)}\) भी दिखाता है। यदि सारणिक शून्य निकले तो यह मैट्रिक्स को एकवचनी बताता है और व्युत्क्रम को अपरिभाषित दर्शाता है।
सूत्र
सारणिक को किसी पंक्ति के अनुदिश लाप्लास (सहखंड) विस्तार से परिभाषित किया जा सकता है: \(\det(A) = \sum_{j} a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}\), जहाँ \(M_{ij}\) वह उपसारणिक (minor) है जो पंक्ति \(i\) और स्तंभ \(j\) हटाने पर मिलता है। \(n = 2\) के लिए, \(\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\)। संख्यात्मक स्थिरता और गति के लिए यह कैलकुलेटर इसके बजाय आंशिक धुराग्रहण (partial pivoting) के साथ गाउसी निवारण का उपयोग करता है: A को ऊपरी-त्रिभुजीय रूप में लाएँ, पंक्ति-अदला-बदली से होने वाले चिह्न-परिवर्तनों का हिसाब रखें, और विकर्ण के धुरा-तत्वों (pivots) को गुणा करें — $$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$
हल किया हुआ उदाहरण
A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] के लिए: $$\det = 1(5\cdot10 - 6\cdot8) - 2(4\cdot10 - 6\cdot7) + 3(4\cdot8 - 5\cdot7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$ अतः \(\det(A) = -3\) और \(\frac{1}{\det(A)} \approx -0.3333\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
सारणिक का 0 होना क्या दर्शाता है? मैट्रिक्स एकवचनी (singular) है: इसकी पंक्तियाँ या स्तंभ रैखिक रूप से परतंत्र हैं, इसका कोई व्युत्क्रम नहीं होता, और \(\frac{1}{\det(A)}\) अपरिभाषित रहता है।
क्या प्रविष्टियाँ दशमलव या ऋणात्मक हो सकती हैं? हाँ — कोई भी वास्तविक संख्या स्वीकार्य है।
सहखंड विस्तार के बजाय निवारण विधि क्यों? सहखंड विस्तार में \(O(n!)\) संक्रियाएँ लगती हैं; जबकि गाउसी निवारण \(O(n^3)\) होता है और बड़े मैट्रिक्स के लिए संख्यात्मक रूप से स्थिर रहता है।
